Medizinische Physik 3: Medizinische Laserphysik [2004]

60 R. Müller und T. Fernholz
E(P )=E1(P )+E2(P )+···
��
E(P )=
e
Q · ES
−ikr ��
dS +
r
e
Q · ES
−ikr
dS + ··· .
r
S1
S2
Das ist das Babinet-Prinzip: Das Beugungsbild einer Öffnung ergibt zusammen
mit dem Beugungsbild eines gerade komplementären Schirms die ungestörte
Welle, denn beide beugenden Öffnungen zusammen bilden eine unendlich
große Öffnung. Dahinter verbirgt sich, dass im Fall der Fraunhofer-
Beugung das Beugungsbild einer Öffnung genauso aussieht, wie das des komplementären
Schirms. Einzig die Phasen sind genau entgegengesetzt.
3.3 Die Fraunhofer-Beugung
In dem fundamentalen Beugungsintegral ist der Abstand r des Punkts P
vom Flächenelement dS natürlich eine Funktion der Koordinaten x und y
des Flächenelements. Für den Abstand gilt:
r =
�
X 2 +(Y − y) 2 +(Z − z) 2 = R
�
1 − 2
Aus der Taylor-Entwicklung der Wurzel erhält man
�
yY + zZ
r = R 1 −
R2 + y2 + z2 2R2 �
1 yY + zZ
−
2 R2 ��
E(P )= QES
S
e −ikR
�
yY +zZ
R 1 − R2 + ...
yY + zZ
R 2
� 2
yY +zZ
�e
ik R e ik
�
Für die Koordinaten des Punkts P gilt in jedem Fall
|Y |≤R und |Z| ≤R.
− 1
8
1
2
+ y2 + z 2
R 2
� y 2 + z 2
R 2
.
�2
�
... .
(yY +zZ) 2
R3 − y2 +z 2
�
2R
dS .
Für den Extremfall Y = Z = R verschwinden die höheren Ordnungen
der Taylor-Entwicklung und damit der letzte Exponent also nur, falls die
Fraunhofer-Bedingung erfüllt ist:
k(y 2 + z 2 )
2R
≤ πd2
≪ 1 .
4λR
Hier ist d der größte Durchmesser der Öffnung. Ist diese Bedingung erfüllt,
kann die Entwicklung des Nenners bereits nach dem nullten Glied abgebrochen
werden. Ebenso lässt sich leicht zeigen, dass auch der Neigungsfaktor
als konstant angenommen werden kann.