Termodinamica - Cengel 7th - espanhol

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FLUJO COMPRESIBLE
T
Ma 1
T máx
Ma 1
dT
0
ds b
b
a
s máx
ds
0
dT a
FIGURA 17-56
El diagrama T-s de flujo de Rayleigh
considerado en el ejemplo 17-13.
s
EJEMPLO 17-13 Extremos de la línea de Rayleigh
Considere el diagrama T-s del flujo de Rayleigh, según se muestra en la figura
17-56. Utilizando las formas diferenciales de las ecuaciones de conservación
y las relaciones de propiedades, demuestre que el número de Mach es Ma a
1 en el punto de máxima entropía (punto a), y Ma b 1/1k en el punto de
temperatura máxima (punto b).
Solución Se demostrará que Ma a 1 en el punto de máxima entropía y que
Ma b 1/1k en el punto de temperatura máxima sobre la línea de Rayleigh.
Suposiciones Las suposiciones asociadas con el flujo de Rayleigh (es decir,
flujo estacionario unidimensional de un gas ideal con calores específicos
constantes a través de un ducto de sección transversal constante, con efectos
descartables de fricción) son válidas.
Análisis Las formas diferenciales de las ecuaciones de masa (rV constante),
de la cantidad de movimiento [reacomodado como P + (rV)V constante],
de gas ideal (P rRT ) y de cambio de entalpía (h c p T ) pueden
expresarse como
d r dV
rV constante S r dV V d r 0 S (1)
r V
P 1rV2V constante S dP 1rV2 dV 0 S dP
dV rV
P rRT S dP rR dT RT dr S dP P
La forma diferencial de la relación de cambio de entropía (Ec. 17-40) de
un gas ideal con calores específicos constantes es
dT
T
dr
r
(2)
(3)
ds
c p dT T
R dP P
(4)
Al sustituir la ecuación 3 en la 4 se obtiene
ds c dT p
T
puesto que
R a dT T
dr
r b 1c p R2 dT T
c p R c v S kc v R c v S c v R/(k 1)
Al dividir la ecuación 3 entre dV y combinándola con las ecuaciones 1 y 2,
luego de reacomodar los términos, se obtiene
dT T V
(7)
dV V R
Al sustituir la ecuación 7 en la ecuación 6 y reacomodando,
Al fijar ds/dT 0 y despejando V en la ecuación resultante R 2 (kRT – V 2 ) 0,
se obtiene la velocidad en el punto a, es decir:
V a 2kRT a y Ma a
V a
c a
R dr r
R
k 1
Al dividir ambos lados de la ecuación 5 entre dT y combinando el resultado
con la ecuación 1, se obtiene
ds R R dV
dT T 1k 12 V dT
(6)
ds
dT
R
T 1k 12
R
T V 2 >R
R 2 1kRT V 2 2
2kRT a
2kRT a
1
Por lo tanto, en el punto a existen condiciones sónicas y, en consecuencia, el
número de Mach es 1.
dT
T
T 1k 12 1RT V 2 2
R dr r
(5)
(8)
(9)