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salta, experimentará comparativamente grandes pérdidas. Lo contrario ocurre
∗
∗
cuando el inversor está corto en el stock y largo en la opción ( < 0 y w > 0).
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w1 2
Dado que la llegada de un período "activo" (de saltos) es totalmente aleatoria,
no hay forma sistemática de aprovecharse de estos resultados y cubrirse
totalmente cuando hay saltos en el precio del stock.
Habría que recalcar que las grandes pérdidas sufridas por los vendedores
(writers) durante estos períodos activos no son debidas, en ningún caso, a una
estimación de la tasa de varianza por debajo de su valor real, ya que se
demuestra que no hay ningún valor finito para la tasa de varianza que utilizado
en la fórmula permita protegerse de las pérdidas cuando se produce un salto.
Se pueden plantear tres aproximaciones diferentes para resolver el problema
de valoración de opciones bajo el supuesto de procesos de difusión y saltos en
el activo subyacente. Una primera aproximación establece que ante la
imposibilidad, en consecuencia, de poder construir una cartera sin riesgo, no
puede usarse la técnica de resolución de B-S. Se precisa recurrir entonces a la
técnica de Samuelson (1965), que consiste en aplicar el lema de Itô a la parte
continua de [9] y un lema similar 3 a la parte de salto, obteniéndose las
siguientes relaciones:
α
W
≡
1 2 2 [ σ F ( S,
t)
+ ( α − λk)
SF ( S,
t)
+ F + λξ{
F(
SY,
t)
− F(
S,
t)
} ] / F(
S,
t),
2
S SS
S
t
σ ≡ ( S,
t)
σS/
F(
S,
t),
[11]
W
F S
donde los subíndices en F(S,t) indican derivadas parciales, ε es el operador
esperanza matemática y F(S,t) es el precio de la opción 4 .
De la expresión anterior [11], la función F debe satisfacer:
0 2 SS
S
{ F(
SY,
τ)
− F(
S,
) }
1 2 2
= σ S F + ( α − λk)
SF − Fτ
− g(
S,
τ)
F + λξ
τ [12]
sujeto a las condiciones de contorno:
3 Véase Merton (1971, pag. 396) para una descripción del correspondiente lema para procesos de
Poisson.
4 Se trata de una call europea sobre un activo que no reparte dividendos. Los mercados se suponen sin
fricciones y, en general, se cumplen todos los supuestos B-S, excepto la lognormalidad de S(t+1)/S(t).