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último supuesto es equivalente a suponer que no hay apalancamiento y que la
volatilidad del valor de la empresa es constante, supuestos que también
utilizaba Geske (1979) en el modelo de opción compuesta que hemos
desarrollado anteriormente, dos supuestos simplificadores que también son
recogidos en Scott (1987).
Dado que se han eliminado todos los términos que reflejan algún tipo de
supuestos respecto al riesgo, se podrá utilizar un procedimiento de valoración
de una opción bajo consideraciones de cobertura y arbitraje neutral al riesgo,
simplemente descontando su valor terminal esperado a la tasa de interés sin
riesgo.
No obstante, Hull y White (1987) expresan el resultado final que obtuvieron
para el valor de una opción, en términos de una variable, V , que definen como
la varianza media a lo largo del intervalo (0,T), es decir:
89
1 T
2
V = ∫ σ (t)dt
[8]
T 0
Con la demostración de un lema 8 y su aplicación obtienen la expresión en
forma cerrada del valor de la opción, cuando la volatilidad es estocástica, dada
por:
donde
−r(T−t)
C( V)
= StN(d1)
− Xe N(d2
),
log(St/X)
+ (r + V/2)(T
− t)
d1
=
V(T
− t)
d2 = d1
−
∫
2
2
f(St
, σt
) = C( V)h(
V σt
)dV.
[9]
V(T
− t).
Esta solución expresa que el precio de la opción es la media del precio B-S,
evaluada sobre la distribución condicional de la varianza media, V . Además,
presenta la característica de que, igual que la de B-S, es indiferente respecto al
riesgo, neutral al riesgo, por lo que el uso de esta solución es válida para
8 Este lema muestra que la distribución log[S(T)/S(0)] y condicionada sobre V es normal, donde la
media es rT-VT/2 y varianza es VT.