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3.2. EXTENSIONES DEL MODELO INICIAL DE MERTON (1976).
Se han planteado a posteriori diferentes extensiones respecto al modelo
original de Merton (1976a), entre las que destacamos la de Jarrow, Oldfield y
Rogalski (1977) y la de Amin (1993).
Jarrow et al. (1977) proponen un proceso parecido al de difusión con saltos de
Merton (1976a), pero que difiere en algunos aspectos. Mientras que para
Merton el coeficiente de autocorrelación es cero, este trabajo incorpora la
posibilidad de correlación serial entre los saltos. Se elimina el problema de
estimar la probabilidad del salto (λ), cuando suponen que el precio del activo
salta con cada transacción 9 . Estudios empíricos han detectado que las
rentabilidades calculadas con los datos de transacción no son independientes,
sino que, por el contrario, presentan correlación negativa de forma significativa
10 (sobre todo para el primer retardo) 11 , además de que el intervalo de tiempo
entre las transacciones de una acción no es constante 12 .
Para incorporar estas observaciones, Jarrow, et al. (1977) sugieren modelizar
la dinámica seguida por las rentabilidades, mediante un proceso con intervalos
de tiempo aleatorios entre las transacciones y correlación serial entre dichas
rentabilidades, donde los saltos se distribuyen como variables aleatorias
idénticas, con función de densidad gamma (cuando en Merton la función de
densidad es Poisson). Este proceso se puede expresar analíticamente como:
dP / P = αdt
+ βdW
+ zdπ
[20]
donde P es el precio de la acción, α es la media instantánea esperada por
unidad de tiempo, β es la desviación estándar instantánea por unidad de
tiempo, dW es un proceso Wiener con media cero y varianza unitaria, z es el
porcentaje de cambio en el precio de la acción resultante de un salto, Z = z + 1,
es la amplitud del salto y dπ es un proceso de salto, que toma valor la unidad
9 No es sorprendente que en base a este supuesto, Jarrow et al. (1977) concluyan que hay un componente
de salto en todas las muestras de datos que utilizaron.
10 Según resulta de los trabajos de Niederhoffer y Osborne (1966).
11 Tinic y West (1971) dan una posible explicación de esta correlación negativa. Brevemente, la llegada
de órdenes de compra y venta de acciones, hace que los precios de transacción vibren, y aunque las
órdenes con límite y la competencia de los floor broker pueden restringir el tamaño del spread, las
fluctuaciones entre los precios efectivos bid y ask crean esa correlación negativa en las rentabilidades.
12 El supuesto de intervalos de tiempo constantes entre las transacciones se remonta al trabajo de
Bachelier (1900) y Osborne (1959).
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