cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

pequeñas variaciones aleatorias en el precio del activo, que no sean las recogidas
en la tendencia de su trayectoria. Esta última observación es la que lo diferencia
del proceso de difusión y saltos, que al igual que el proceso de difusión lognormal,
también permite pequeñas variaciones en el precio del activo.
El planteamiento de un proceso de estas características es básico, no tanto por su
mayor o menor realismo, sino más bien como un punto de referencia extremo,
válido para establecer comparaciones con otros procesos.
Un proceso de saltos simple puede ser expresado del siguiente modo:
⎧( k −1)
con probabilidad
λdt
dS / S = µ dt + ( k −1)
dπ
= µ dt + ⎨
[1]
⎩0
con probabilidad1
- λdt
donde S=S(t) es el precio del activo subyacente, µ es la tasa media esperada de
rentabilidad de S, π es un proceso Poisson en tiempo continuo, λdt representa la
probabilidad instantánea de recibir información que haga que la rentabilidad de S
experimente una modificación importante, (que se produzca un salto) y k - 1 es la
amplitud del salto.
Esta expresión refleja que el porcentaje de variación del precio de la acción (dS/S)
está compuesto de un término de tendencia, µdt, y un término, dπ, que recoge la
probabilidad, λdt, de que el porcentaje de cambio de la acción salte en k - 1 ( pase
a kS) o que no salte, con probabilidad 1- λdt. Cuando k es positiva y constante se
denomina a este proceso como proceso simple de saltos, en la medida en que hay
una única dirección del salto (positivo) y la amplitud del mismo está dada.
Cox y Ross añaden otros procesos estocásticos de salto alternativos más
complejos, donde, por ejemplo, la amplitud del salto no es fija, sino que es
proporcional al precio de la acción (birth and death processes, Cox y Ross, [1976,
pág 148-149]) o, por ejemplo, cuando la intensidad del proceso, λ, es constante y
donde la amplitud del salto también es constante (absolute process, Cox y Ross,
[1976, pág 150-151]).
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