cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

En este caso, aunque se utiliza la misma ecuación en derivadas parciales de B-S
para el caso de no dividendos, las condiciones de contorno cambian cada día de
pago de dividendos, debido al hecho de que puede ser óptimo ejercitar las
opciones americanas en esos momentos. En el mismo trabajo, Schwartz hace un
estudio comparativo entre la solución numérica que propone y el modelo de B-S
sin considerar dividendos y considerando un dividendo proporcional al valor del
activo, y obtiene los siguientes resultados:
.La solución numérica y el modelo de B-S con dividendo son muy similares.
.La solución B-S sin dividendo se aproxima mejor a los precios observados
de mercado.
Del mismo modo que Cox y Ross (1976) demuestran que en el límite el proceso
de saltos se aproxima a un proceso de difusión puro, Brennan y Schwartz (1978)
se proponen demostrar que la aproximación de la ecuación en derivadas parciales
de B-S usando el método de diferencias finitas es equivalente a aproximación del
proceso de saltos al proceso de difusión y, de ese modo, la aproximación por
diferencias finitas es un tipo de integración numérica, procedimiento empleado por
Parkinson (1977).
En particular, Brennan y Schwartz (1978) establecen que la aproximación más
simple de diferencias finitas "explícita" es equivalente a la aproximación del
proceso de difusión por un proceso de saltos analizado en Cox y Ross (1976) 34,
mientras que la aproximación por diferencias finitas "implícita" equivale a la
aproximación del proceso de difusión para una clase de procesos de saltos más
general 35.
Para simplificar el procedimiento numérico que requieren las demostraciones
anteriormente propuestas se hacen transformaciones logarítmicas de la ecuación
de B-S.
34 Cox y Ross (1976) analizaban el proceso de saltos de tres puntos, es decir, donde el precio del activo podía
saltar a tres posibles valores.
35 El proceso de saltos general se define cuando el precio del activo puede saltar a una infinidad de posibles
valores futuros.
59