cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

estados posibles que puede tomar el precio del activo al día siguiente,
necesitaríamos tantos activos independientes como el número de esos
estados. Dado que no se dispone de tantos activos, un inversor no puede
cubrirse y en este caso incurrirá en ganancias o pérdidas inesperadas de
capital.
Igual que Merton (1976a), Amin (1993) supone que el riesgo de salto es
diversificable (no sistemático), de manera que en un mercado eficiente de
capital este riesgo no debería ser valorado en el equilibrio, se anularía, dado
que al contener la cartera sólo riesgo diversificable, la expectativa del valor de
la cartera para el próximo período con respecto a la distribución de esos saltos
(no la distribución global) debe ser cero. Esta observación, retomada de Merton
(1976a), constituye la pieza clave para la determinación del precio de la opción,
de la que se deriva la expresión siguiente:
⎡
C(
i)
= λˆ
⎢E
⎣
⎤
+
⎥[
− − D]⎥ ∆+
− ∆−
⎦
⎦
ˆ ( rˆ
1 1
⎡C
⎤
1(
i + 1)
− C−1(
i + 1)
[ C ( i + 1)
] −
E [ Y]
rˆ Y y
Y
1−
λˆ
)
⎢
⎣
[ pC ( i + 1)
+ ( 1−
p)
C ( i + 1)
]
+ ( 1
−1
+ . [22]
donde $ es la probabilidad de que ocurra un evento raro en un período de
tiempo dado y para un mismo estado, EY es el operador esperanza matemática
con respecto a la distribución de Y, C j ( i)
es el precio de una opción en el
instante del tiempo i y estado j, $r es la tasa de interés sin riesgo, posiblemente
estocástica, de cada período, Dˆ es la rentabilidad por dividendo, p es la
probabilidad de un salto hacia arriba y de igual manera, 1-p es la probabilidad
de un salto hacia abajo en el precio de la acción, Y es la rentabilidad de la
acción cuando el evento raro ocurre, de manera que el precio de la acción pasa
a ser S(i)Y. 1 -1
y ∆ ∆ + es la diferencia del precio del activo,S, respecto al
siguiente período y al anterior, respectivamente.
Finalmente, "y" es el estado para el día siguiente cuando se ha producido un
salto (evento raro), de manera que por definición, y ≠ ± 1.
Es decir, dado que el
evento raro significa cambios importantes en el precio de la acción, o dicho de
otro modo, saltos, significa pasar a estados no próximos, sino, por el contrario,
más alejados y como mínimo, en un estado.
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