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La expresión [22] se simplifica bajo el supuesto de que el valor esperado de la
opción para el próximo período se realiza respecto a una nueva medida
llamada la medida neutral al riesgo (también llamada la medida equivalente
martingala), definida inicialmente por Harrison y Kreps (1979). Bajo esta
medida, la tasa esperada de rentabilidad de cada activo se iguala a la tasa sin
riesgo. Así podemos actuar como si los inversores fueran neutrales al riesgo y
la valoración de los activos se hará descontando el flujo de sus pagos (cash
flows) a la tasa de interés sin riesgo. Este supuesto permitirá, finalmente,
obtener el valor de una opción representado por :
C(
i)
145
[ C(
i 1)
] ⎤
⎥⎦
⎡ E +
Q(
i)
= Max⎢F(
i),
⎣ rˆ
donde F(i) es la función que representa el pago si la opción es ejercitada en el
estado y día corriente (i), Q es la medida de probabilidad donde q ~ ~
q y λ - son
las probabilidades de que ocurra un cambio hacia arriba o hacia abajo en el
precio de la acción condicionadas a que no ocurran eventos raros o saltos y
es la probabilidad de que ocurrencia de tales saltos. Por último $r es el tipo de
interés sin riesgo.
El análisis numérico de este modelo, considerando el supuesto de Merton
(1976a), de que el tamaño del salto es proporcional al precio del activo y tiene
una distribución lognormal, lleva a la obtención de la siguiente expresión para el
valor de una opción call europea:
ECC
( λT)
∞
n n
=
n=
0
n!
i=
0
n!
i!
( n − i)!
i n−i
[ S(
0)
] ∑exp( −λT)
∑ b ( 1−
b)
. BSE[
S(
0)
exp( −λKT
+ ( 2i
−1)
δ),
σ][
24]
donde ECC[.] es el precio de la opción, K=bexp(δ)+(1-b)exp(-δ)-1, b es la
probabilidad de que el ln(Y) tome un valor igual a +δ, por lo que 1-b es la
probabilidad de que tome un valor igual a -δ y BSE[S(0)exp(-λKT+(2i -1)δ),σ] es
el precio B-S de la opción con precio incial del stock S(0)exp(-λKT + (2i -1),δ) y
parámetro de volatilidad σ.
Más interesante aún es la extensión de Amin (1993) para incorporar el
supuesto de que los saltos observados en los precios del stock sean
sistemáticos (no diversificables) y por tanto haya una prima de riesgo asociada
a la ocurrencia de tales saltos.
[23]