cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

Este análisis se lleva a cabo para obtener estimaciones discretas de los cambios
en el valor de la opción debidos a pequeñas variaciones en el tiempo y en el
precio del activo subyacente, formando ecuaciones en diferencias como
aproximaciones de las derivadas parciales en tiempo continuo.
Hay una infinidad de formas de estimar estos cambios en el valor de la opción con
respecto al tiempo y al precio del activo subyacente 32, pero todas permiten que las
soluciones puedan ser clasificadas en explícitas o implícitas. En la clase explícita,
cada precio desconocido de la opción en cualquier nudo 33 puede ser obtenido
explícitamente en términos de los precios nudos de las opciones anteriores que
son conocidos, mientras que en la clase implícita debe resolverse un conjunto de
ecuaciones simultáneas.
Una aproximación en diferencias finitas explícita a la ecuación en derivadas
parciales de B-S es:
Una aproximación implícita es:
j+
1 j j j j
i − ui
ui+
1 − 2ui
+ ui−1
= c
+ O(
∆x)
+ O(
∆t)
2
∆t
( ∆x)
u 2
u 2
j+
1 j j+
1 j+
1 j+
1
i − ui
ui
+ 1 − 2ui
+ ui
−1
= c
+ O(
∆x)
+ O(
∆t)
2
∆t
( ∆x)
donde i y j especifican diferencias respecto al precio del stock y el tiempo,
respectivamente, c es un coeficiente de transformación y O(.) representa el orden
de los errores en las aproximaciones del precio del stock y el tiempo.
Schwartz (1977) introduce una técnica numérica, aproximación por diferencias
finitas, cuando no es posible encontrar una solución analítica para la valoración de
opciones sobre acciones que pagan dividendos discretos en el tiempo.
32 diferencias forward, centrales, backward,etc.
33 Como así lo denominan Geske y Shastri (1985). El concepto de nudo se refiere a aquellos puntos donde
hay bifurcación.
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