cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

obtiene integrando a lo largo de la varianza futura media del precio del activo
subyacente 13 .
∫ − ( T t)
⎡
s(
x)
⎤
C ( S,
σh
, t)
= C*
⎢S,
K,
r,
T − t,
⎥f
( x σh
) dx [26]
0
⎣
T − t ⎦
donde C*(.) es la fórmula B-S para opciones call, para 0 ≤ x ≤ T − t ,
2 2
s(
x)
= σhx
+ σl
( T − t − x)
, y f ( x h ) σ es la función de densidad condicional 14, que
indica la probabilidad de que en el momento x la volatilidad esté a un nivel h σ
(alto), si en el instante actual se encuentra en ese mismo estado.
Naik (1993) también analiza el supuesto de que el componente de salto sea
sistemático, posibilidad que resulta interesante para los inversores que replican
el conjunto de pagos de la cartera de mercado, ya que los cambios de la
volatilidad representarán cambios en el riesgo de la economía en su conjunto y
llevará a saltos simultáneos en el nivel de output, consumo agregado y, por
tanto, en el nivel de precios.
La consideración de procesos de difusión con saltos, como un caso especial de
procesos con volatilidad estocástica, para el activo subyacente y para su
volatilidad también se analiza en Amin y NG (1993). La idea es que variaciones
importantes de la varianza, en general, son simultáneas con grandes
variaciones, saltos, en el precio del activo y en el consumo agregado, y, por
tanto, en la cartera de mercado.
A diferencia de Merton (1976a) que basa su modelo en la consideración de los
saltos no sistemáticos, Amin y NG (1993) determinan el valor de las opciones
teniendo en cuenta aquellos saltos que afectan simultáneamente al consumo
agregado y al precio del activo, es decir, saltos sistemáticos, no diversificables.
Podrían darse saltos en el consumo agregado que no afecten al precio de la
acción, sin embargo, no afectarán directamente al valor de la opción, sino de
forma indirecta a través de la variable tipo de interés, determinada
endógenamente. Por esta razón, Amin y NG. (1993) suponen que cualquier
13 Nótese que si no hay riesgo de cambio de la varianza, de manera que h l , la expresión se reduce
a la fórmula de B-S para la valoración de opciones call europeas. Como sigue Naik, también puede
derivarse la fórmula de B-S haciendo que el proceso de la volatilidad sea persistente infinitamente, esto
es quie tanto la probabilidad de que la volatilidad salte de h a l o al revés sean nulas.
14 Para una detallada explicación de esta función de densidad y su expresión analítica, ver Naik (1993,
pag 1975).
148