cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

⎧C
C⎨
⎩C
u
d
= max
= max
[ 0,
uS − K ]
[ 0,
dS − K ]
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con probabilidad
q
con probabilidad
1-
q.
Para que no sea posible obtener beneficios del arbitraje, el valor de la opción debe
ser igual al valor de una cartera formada por participaciones en el activo y bonos
sin riesgo. Si no se da esta igualdad, se podrían obtener beneficios sin riesgo
mediante la compra o venta de la opción o de la cartera.
Si se forma una cartera con ∆ participaciones del activo y una cantidad B en bonos
sin riesgo, su coste será, por tanto, ∆S+B, de manera que al final del período, el
valor de esta cartera será:
⎧∆uS
+ rB
∆S
+ B⎨
⎩∆dS
+ rB
con probabilidad
q
con probabilidad
1-
q.
La igualdad del valor de la opción y el de la cartera al final del período y para los
dos posibles valores que tomará el activo nos lleva a las dos expresiones
siguientes:
∆ uS + rB =
Cu
∆ dS + rB = C
De la que obtenemos las proporciones que debemos elegir del activo y de los
bonos sin riesgo para que el valor de la opción se iguale al valor de la cartera, y de
ese modo no pueda haber beneficios derivados del arbitraje :
Cu − Cd
∆ = ,
( u − d)
S
d
uCd
− dCu
B =
( u − d)
r
Por lo que se concluye que para que no haya beneficios derivados del arbitraje, el
valor de la opción ha de ser igual al valor de la cartera, es decir,
C = ∆S
+ B =