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alternativos al respecto, que van desde el supuesto más sencillo (su invariabilidad
o constancia) hasta suponer procesos estocásticos cada vez más complejos, que
incorporan uno tras otro características adicionales a su dinámica. El
comportamiento estocástico para los tipos de interés, y cuando se valoran
opciones sobre deuda, en muchos casos se ha establecido en términos de la
dinámica de la rentabilidad de un bono cupón cero libre de insolvencia y con un
período de maduración similar al plazo del tipo de interés que se está
considerando, como por ejemplo en Merton (1973).
Para Black y Scholes (1973) tanto el prestar como el pedir prestado puede
hacerse a una tasa de interés a corto plazo constante y además los tipos de
interés a corto y largo plazo son iguales, esto es, suponen una estructura
temporal "plana" de tipos de interés. Por el contrario, Merton (1973) incluye la
posibilidad de que el tipo de interés pueda variar a lo largo de la vida de la opción,
cuando supone que la rentabilidad de un bono cupón cero puede ser expresada
como un proceso de Itô.
Para Merton (1973), el cambio en el precio del bono, esto es, su dinámica, vendría
dada por:
dB
B(
T)
=
~
rdt
+ σ ( T)
dz(
t,
T)
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donde %r es la rentabilidad instantánea del bono, σ B(
T)
es la varianza instantánea
de rentabilidad del bono y dz(t,T) es un proceso estándar Gauss-Wiener para
tiempo hasta el vencimiento T. Dado que B(T) es un bono libre de riesgo de
insolvencia, B(0)=1. B σ será una función de T con σ B (0) = 0. En el caso especial
de tipos de interés constantes r = r, σ B = 0 y B(T) = e-rT.
Para la derivación de su fórmula, Merton hace uso de la técnica de B-S,
estableciendo una cartera cubierta con tres activos: la opción call, el activo
subyacente y el bono. Suponiendo que el precio de la call es ahora función del
precio del bono, del precio del activo y del tiempo hasta la maduración de la
opción, aplica el lema de Itô, obteniendo una ecuación en derivadas parciales, que
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