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Esta dinámica también recoge el caso especial de que haya una dependencia
intertemporal en la volatilidad, como puede ser la tendencia a revertir en media,
que analiza Scott (1987), y que se da cuando ξ y µ dependen de σ y t.
La solución al problema de valoración de opciones cuando la volatilidad es
estocástica exige la utilización de una ecuación que propone Garman (1976),
cuya solución es indiferente al riesgo, o independiente de las preferencias por
el riesgo de los inversores. No obstante, se podría obtener esa solución, como
ya hemos comentado con anterioridad, si existiera un activo que estuviera
perfectamente correlado con la volatilidad (ya que la volatilidad no es un activo
negociado) o, como demuestran Hull y White (1987), si la volatilidad estuviera
incorrelada con el consumo agregado. Si ninguna de estas dos condiciones se
mantiene, no hay forma de obtener una solución a la ecuación diferencial de
Garman.
La posibilidad de que haya un activo que esté de forma clara, perfecta e
instantáneamente correlado con la volatilidad y que analiza Johnson (1979), es
rechazada por Hull y White (1987), por lo que pasan a considerar la segunda
condición a la que hacíamos referencia con anterioridad.
Para obtener el valor de la opción, Hull y White hacen uso de la ecuación
diferencial, introducida por Garman (1976), y que puede ser aplicada cuando la
volatilidad es estocástica. Esta ecuación plantea que para un activo f, cuyo
precio depende de unas variables de estado determinadas, θ i , se debe
satisfacer la siguiente ecuación diferencial:
2
∂f
∂ f
∂f
+ 2 ∑ i, jρ
ijσiσ
j − rf = ∑ iθ
i
∂t
∂θ
∂θ
∂θ
87
[ − µ + β (µ * r) ]
1
i i −
i j
i
donde i σ es la desviación estándard instantánea de i θ , ρ ij es la correlación
instantánea entre θ i y θ j,
i µ es la tendencia (media) de i i β , θ es el vector de las
betas para la regresión de las variables de estado "rentabilidades" ( ∂ θ/θ ) sobre
la cartera de mercado y las carteras más cercanamente correladas con las
variables de estado, µ* es el vector de rentabilidades esperadas instantáneas
de la cartera de mercado y las carteras más cercanamente correladas con las
variables de estado y r es el vector donde sus elementos son el tipo de interés
sin riesgo, r.
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