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Otros trabajos anteriores que han usado esta aproximación son los modelos de
Vasicek (1977) y CIR (1985) que se extienden en Hull y White (1990) y el modelo
de tipos de interés lognormal de Black y Karasinski (1991).
Finalmente, Stapleton y Subrahmanyam (1993) proponen un modelo alternativo
para valorar opciones europeas sobre tipos de interés que tiene, entre otras
ventajas, su sencillez, ya que es tan fácil de usar como el B-S convencional.
En este modelo, el valor descontado, B t+
m de un bono cupón cero que paga un
dólar en t+m es lognormal 39 de manera que el precio del bono es simétrico a la
izquierda (los tipos de interés, considerados estocásticos en el modelo, serían
simétricos a la derecha). Este supuesto, más realista, difiere del clásico propuesto
por B-S, de que la variable precio de las acciones es lognormal, y que también fue
supuesto por Black et al. (1990), Longstaff (1990), Black y Karzsinski (1991), Briys
et al (1991), Milne y Turnbull (1991) y HJM (1992). Este supuesto corrige las
desventajas principales del plantemiento B-S, pues, por un lado, el máximo valor
del bono se da cuando el descuento es cero, de manera que los tipos de interés
negativos quedarían excluídos, y por otro lado, la probabilidad de una caída
determinada en el tipo de interés es menor que un incremento similar en el mismo.
El modelo se basa en el comportamiento del precio forward más que en el precio
spot, al igual que HJM (1992). De esta manera, si el precio forward de un activo
sigue un proceso arbitrario de dos estados, una opción sobre el activo puede ser
valorada por arbitraje. El supuesto entonces propuesto es que el descuento de un
bono cupón cero sigue un proceso binomial multiplicativo, que permite derivar
relaciones de valoración neutrales al riesgo para las opciones sobre los bonos
cupón cero, como en Merton (1973), Cox y Ross (1976), Jamshidian (1989), Hull y
White (1990), Satchell et al. (1990) 40 y Milne y Turnbull (1991). En el límite,
cuando la distribución del descuento del bono es lognormal, es posible valorar las
opciones sobre bonos, utilizando una transformación de la fórmula de B-S.
39 Es decir, los precios forward implícitos se distribuyen de manera lognormal.
40 Cfr de Stapleton y Subrahmanyam (1993).
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