cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

donde PW es el precio de un warrant, x es el precio de la acción, de manera que
x- a es el valor de un warrant, si x > a y 0 si x < a. f(x) es la función de densidad
lognormal (que considera más apropiada que la normal para describir la dinámica
de los precios de las acciones) y a es el precio de ejercicio del warrant. Si f(x) es
continua, o puede ser aproximada por una función continua, entonces el valor
esperado de un warrant para un inversor será la suma de todos los posibles
resultados por sus respectivas probabilidades de ocurrencia, dadas por la función
f(x) 6.
Sobre la distribución del valor final de las acciones, Sprenkle trunca el valor del
warrant en el precio de ejercicio y así obtiene su valor esperado dado un valor
concreto para el precio corriente de la acción, Ps :
Ε
[ ] ∫ ∞
Pw
; Ps
=
a
( x − a)
e
xσ
2π
17
⎡ 2
2
ln x−ln
P − + ⎤
s ln k 1/
2σ
−1/
2⎢
⎥
⎢⎣
σ ⎥⎦
En general, Sprenkle supone que el inversor piensa que el valor medio esperado
para el precio de la acción es k veces su precio corriente, siendo k una constante,
es decir, E[x]=kPs . La rentabilidad esperada para los warrants podría ser
cualquiera, pero siempre superior a la del subyacente, debido al mayor riesgo de
los warrants respecto al de la acción, una vez que un cambio porcentual dado en
el precio de la acción resultará en un cambio porcentual superior en el precio del
warrant, (apalancamiento).
El siguiente eslabón de esta evolucion teórica fue modelizar la dinámica de la
rentabilidad del subyacente y del warrant como un Proceso Geométrico Browniano
con tendencia positiva, proceso estocástico que queda definido del siguiente
modo:
dt S / dS σ + α =
6 Para la obtencion de la formula final para el valor de un warrant, Sprenkle hace uso de un teorema que
proporciona soluciones integrales cuando la función de densidad es lognormal. Este teorema aparece
demostrado en el apéndice de Sprenkle (1962).
1 1 dz
dx
[8]