cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

2º Cuando la variable aleatoria Y, ( St / St−
1 ), tiene una distribución lognormal,
siendo 2 la varianza de LogY y γ = Log ( 1+
k)
, Merton (1976a)
demuestra que el precio de la opción puede escribirse como :
−λ
τ ′ n
e ( λτ)
2
F ( S,
τ)
=
W(
S,
τ;
E,
υn
, rn
)
[15]
n!
∑ ∞
n=
0
′
donde ( 1 k ) y W es el valor B-S de la opción evaluado para una
2
varianza n y una tasa de interés rn dados por:
υ
2
n
= σ
2
nδ
+
τ
2
137
[16]
nγ
rn = r − λk
+
[17]
τ
2
es decir, υ n y rn
son las tasas de varianza y de interés medias por unidad de
tiempo, cuando suceden exactamente n saltos de Poisson durante la vida de la
opción.
2
Esto es, W( S,
τ ; E,
υn
, rn
) es la valoración B-S que realizaría el mercado
incorrectamente al observar una volatilidad 2
υ n en el activo subyacente y
estimar que tal volatilidad es la varianza de un proceso de difusión continuo,
2 , sin tomar en consideración que en esa volatilidad observada existe un
componente debido a la varianza del proceso de saltos. Idéntica interpretación
cabe para rn , esto es, la tasa "observada" de descuento de la cartera
compuesta de B-S, en presencia de saltos, no coincide con la tasa sin riesgo,
salvo que la distribución de tamaños de saltos se concentre de modo simétrico
′
en torno a cero (k=0 y γ=0) y en este caso = r y λ = λ .
2
Claramente, W( S,
τ ; E,
υn
, rn
) es el valor de la opción, condicionado al
conocimiento de que exactamente se producirán n saltos de Poisson durante la
vida de la opción. Merton (1976a, pag. 135) concluye que el valor de una
opción, F(S,τ) dado por la solución [15], "es una suma ponderada de cada uno
de los precios, donde cada ponderación es igual a la probabilidad de que una
variable aleatoria de Poisson con parámetro característico, λτ, toma
exactamente en el valor n".
r n