cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

donde S es el precio de las acciones que componen la cartera, C es el precio de
las de las opciones y Q s y Qc
son las cantidades de acciones y opciones que
componen la cartera, siendo negativas si se trata de posiciones cortas.
El cambio en el valor de esta cartera, producido por cambios en el precio de sus
activos, lo obtendremos diferenciando:
dVh s
c
= Q . dS + Q . dC
[12]
Dado que el precio de la opción depende a su vez y entre otras cosas del precio
de la acción, y dado que se supuso que las variaciones en el precio de la acción
siguen un movimiento Geométrico Browniano, B-S hicieron uso del cálculo
estocástico y del Lema de Itô para obtener la siguiente expresión:
2
∂C
∂C
1 ∂ C 2 2
dC = . dS + . dt + . σ . S dt
[13]
2
∂S
∂t
2 ∂S
donde σ 2 es la tasa de varianza de la rentabilidad de la acción.
Si se impone que las cantidades elegidas de los activos se ajusten continuamente
para que la cartera no tenga "riesgo", y así esté cubierta, esto es que:
Q
Q
s
C
∂C
= −
[14]
∂S
entonces la rentabilidad de la cartera será la tasa de interés sin riesgo. Si, por
ejemplo, la cartera está formada por una posición larga en una acción ( QS = 1),
el
número de opciones que deben venderse en descubierto por cada acción poseída
vendría dado por la expresión :
Q c
1
= −
[15]
∂C
/ ∂S
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