cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

europea, pero menos valor que una put europea con un precio de ejercicio
constante en términos de valor actual 37 . Esta aproximación requiere además la
especificación aproximada del precio "crítico" del stock, por debajo del cual la
opción put podría desaparecer inmediatamente. Sin embargo, no se recoge ni la
posibilidad de pago de dividendos, ni analiza otras propiedades de la solución
propuesta.
Dado que en cada instante hay una probabilidad positiva de ejercitar la opción
americana, esta situación, para Geske y Johnson (1984), es equivalente a una
secuencia infinita de opciones sobre opciones, es decir, opciones compuestas. Así
pues y basándose en el modelo de opción compuesta de Geske (1979), Geske y
Johnson (1984) presentan una fórmula analítica que satisface la ecuación en
derivadas parciales y las condiciones de contorno que caracterizan el problema de
valoración de put americanas.
La clave de esta solución es que cada decisión de ejercicio es considerada como
un suceso discreto. Así, la fórmula que derivan es una solución en tiempo continuo
a la ecuación en derivadas parciales en un número infinito de instantes discretos,
e implica una duplicación exacta de la cartera para la put americana formada por
una posición larga determinada en bonos al descuento y corta en el activo. La
fórmula se extiende para considerar opciones put sobre activos que pagan
dividendos y presenta además los ratios de cobertura y demás derivadas de la
fórmula respecto a sus parámetros (S,r,T,X y σ).
Al igual que las aproximaciones numéricas de Parkinson (1977) y Geske y
Johnson (1984), MacMillan (1986) propone una técnica de aproximación que
consiste en obtener analíticamente un valor aproximado de la opción put
americana, en relación al valor de la opción put europea.
La relación entre ambas opciones put la expresa MacMillan de la siguiente forma:
Opción put americana = opción put europea + valor extra
37 nótese que cualquier put europea es equivalente a una americana con un precio de ejercicio creciente con el
tipo de interés sin riesgo.
61