cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

Dentro de esta clase hemos incluido los trabajos de Wiggins (1987), Scott
(1987), Johnson y Shanno (1987) y Hull y White (1987), considerado este
último como el más importante y pionero en la obtención de una solución,
aunque no analítica, al problema de valoración de opciones con volatilidades
estocásticas.
En realidad, la consideración de la volatilidad como estocástica se remonta al
trabajo preliminar de Johnson (1979), que ya estudiaba el caso más general en
el que la varianza instantánea del precio del activo seguía procesos
estocásticos alternativos. Sin embargo, para derivar la ecuación diferencial que
la opción debe satisfacer, suponía la existencia de un activo, cuyo precio
estaba perfectamente correlado de forma instantánea con la varianza
estocástica. La existencia de este activo es suficiente para derivar la ecuación
diferencial, pero Johnson fue incapaz de resolverla para determinar el precio de
la opción.
Hull y White (1987), sin embargo, sí que resuelven la ecuación diferencial
resultante cuando se considera un comportamiento estocástico para la
volatilidad, por lo que pasamos a comentar más detenidamente el
procedimiento para su resolución.
Los siguientes procesos estocásticos se suponen para el precio del activo, (S)
y su varianza (σ 2 =V):
dS= φS dt + σSdw
dV= µVdt + ξV dz [5]
donde φ es un parámetro que puede depender de S, σ y t. Las variables µ y ξ
pueden depender de σ y t, pero se supone que no dependen de S. Los
procesos dw y dz son procesos Wiener, con coeficiente de correlación ρ.
En contraste a los modelos de Cox (1975), Geske (1979a) y Rubinstein (1983),
en esta expresión se recoge la posibilidad de que la volatilidad no esté
perfectamente correlada con el precio del activo. Este modelo puede ser
reducido a cualquiera de aquellos otros modelos, ( ρ = ± 1)
y permitiendo que ξ
sea una función no estocástica del precio del activo.
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