cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

F(
0,
τ)
= 0
F(
S,
0)
= Max[
0,
S − E],
donde E es el precio de ejercicio de la opción y g(S,τ) es la tasa de rentabilidad
esperada de equilibrio de la opción, cuando el precio del activo subyacente es
S y el tiempo hasta el vencimiento de la opción es τ.
La ecuación [12] es una ecuación mixta en diferencias finitas y derivadas
parciales que aunque es lineal, es difícil de resolver. Además precisa conocer
las tasas de rentabilidad de ambos, opción y activo subyacente, para su
eventual resolución, estimaciones que no se necesitaban en la derivación de B-
S (1973).
Una segunda aproximación más sugerente para la derivación del valor de una
opción bajo el supuesto de un proceso de difusión con saltos para el activo
subyacente se encuentra en el modelo CAPM y en la metodología de
valoración por arbitraje de Ross (1976). Dado que la llegada de nueva e
importante información (que hace que el precio del stock salte) es específica
para la empresa entonces tiene, generalmente, poco impacto en el índice del
mercado. Por esta razón, Merton supone que el componente de salto de la
rentabilidad del activo representará riesgo no sistemático (el componente de
saltos estará incorrelado con el mercado) 5 y sería diversificable.
Un trabajo posterior de Jarrow y Rosenfeld (1984) refuerza aún más este
supuesto de Merton, en tanto que obtienen analíticamente que la condición
suficiente para que el modelo CAPM pueda ser utilizado para obtener la
rentabilidad esperada de equilibrio, cuando el precio del activo sigue un
proceso de difusión con saltos, es que justamente el componente de salto de la
rentabilidad del activo sea "no sistemático" y diversificable en la cartera de
mercado.
Sobre la base de que el modelo CAPM es una descripción válida de las
rentabilidades de los diferentes activos en equilibrio, Merton construye una
∗ ∗
cartera con las proporciones de la cartera cubierta de B-S ( w 1 y w2
en [10]). La
dinámica de la rentabilidad de esta cartera podrá expresarse como:
5 Para Merton (1976a), no ha habido todavía estudios empíricos que demuestren que haya correlación
entre el componente de saltos de la rentabilidad del activo y la rentabilidad del mercado.
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