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Esta observación también se detecta en Ball y Torous (1983), que concluyen que
para valores relativamente bajos de λ, en nuestro caso, 0,41, el método de los
cumulantes y el de máxima verosimilitud generan estimaciones similares.
Una comparación de la varianza histórica anual utilizada en la contrastación del
modelo B-S, (σ 2 =0,092 para las de vencimiento septiembre y diciembre y
2
σ =0,078 para las de vencimiento marzo de 1994), con la varianza del proceso de
difusión en ausencia de saltos, que por el método de los cumulantes se situa en
2
σ =0,0431 también anual, confirma la existencia de saltos, es decir, la
superposición del proceso de Poisson al proceso de difusión continuo en la
muestra que utilizamos, y además, que la diferencia en exceso a favor de la
volatilidad histórica observada debe recogerse en el segundo componente de la
varianza global, 2
υ n , que añade el riesgo de variación de los precios del activo
δ
cuando hay saltos (
τ
2
n
).
En ambas fórmulas de valoración tanto B-S como Merton (en base a lo que se ha
argumentado con anterioridad), el tipo de interés sin riesgo que se ha aplicado
para la contrastación ha sido la media del mercado interbancario con letras
("repos" sobre Deuda Pública) en los plazos más similares a los de la vida residual
de la opción objeto de valoración hasta su vencimiento 14 .
Una segunda consideración en relación a la metodología original de Merton
(1976a) es que el modelo de difusión con saltos que hemos utilizado para la
valoración de las opciones sobre acciones de Telefónica es una simplificación que
hace el propio Merton (1976) del modelo general y que ya desarrollamos en el
⎡ S(
t + h)
⎤
capítulo anterior, válida cuando la variable aleatoria Y ⎢=
⎥ , que describe
⎣ S(
t)
⎦
los cambios de precios de la acción cuando hay saltos, tiene una distribución
lognormal, es decir, cuando la rentabilidad del activo se distribuye como una
normal.
Bajo este supuesto, [siendo 2
δ la varianza de LogY, y k=ζ[Y-1], donde ζ es el
operador esperanza matemática calculado en el rango de la variable aleatoria Y,
14 Para la muestra de vencimiento en septiembre de 1993, el tipo de interés sin riesgo utilizado fue 0,1243,
para la de vencimiento en diciembre de 1994 fue 0,0967 y la de vencimiento en marzo de 1994 fue de 0,084.
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