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En la ecuación [13] sólo aparece el tipo de interés sin riesgo, por lo que no
precisa del conocimiento de la rentabilidad esperada del stock ni de la opción,
al igual que la fórmula de B-S. Se puede demostrar que esta ecuación se
reduce a la de B-S cuando no hay saltos, es decir, cuando 0 y además, en
general, no admite solución analítica (cerrada), precisándose, en cualquier
caso, concretar alguna forma específica para la distribución de Y, como
veremos a continuación.
Es importante destacar que aunque los saltos no afecten a la rentabilidad
esperada de la cartera cubierta, una vez que se han considerado como "no
sistemáticos", sí afectan a la valoración de la opción, ya que tanto el tamaño
como la frecuencia de los mismos son variables que aparecen en la ecuación
que implícitamente describe los precios de las opciones.
La solución general a la ecuación en derivadas parciales obtenida por Merton
es la siguiente:
−λkτ
2
[ ξ { W(
SX e , τ;
E,
σ , r}
]
∞ −λτ
n
e ( λτ)
F(
S,
τ)
= ∑ n
n
[14]
n!
n=
0
donde F(S,τ) es el precio de una opción cuando el precio del stock es S y el
tiempo hasta el vencimiento es τ, Xn es una variable aleatoria que tiene la
misma distribución que el producto de n variables aleatorias independiente e
idénticamente distribuídas, donde cada una de ellas presenta la misma
2
distribución que la variable aleatoria Y definida con anterioridad, W (S,τ;E,r, )
es el valor de la opción por la fórmula de B-S para el caso de no saltos y ζ es el
operador esperanza matemática para la distribución de Xn .
Merton analiza dos casos especiales, en los cuales la solución anterior se
reduce enormemente y es posible obtener una solución analítica o en forma
cerrada:
1º Cuando hay probabilidad positiva de ruina inmediata, de manera que
si el evento de Poisson ocurre, el precio del stock cae a cero. Este caso fue
descrito por Samuelson (1973, pag 16).
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