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(δ ≡D / S).
Además establece una condición suficiente para no ejercitar de forma
anticipada una opción call americana desprotegida del pago de dividendos,
cuando los dividendos futuros y los tipos de interés se conocen con certidumbre:
[ ] ∑ τ
1−
B(
τ)
>
t=
0
K Dt
B(
τ − t)
[33]
es decir, cuando el valor actualizado neto de los dividendos futuros sea menor que
el valor actualizado de los beneficios obtenidos invirtiendo K dólares durante τ
períodos en bonos sin riesgo. En esta desigualdad, K es el precio de ejercicio, τ
son los años antes de la expiración, t representa los años que restan desde el día
de pago del dividendo t-ésimo al vencimiento, y B (τ - t) es el precio actualizado de
un bono sin riesgo de insolvencia que paga un dólar dentro de τ - t años a partir de
ahora. Si se pagasen los dividendos de forma continua a una tasa constante de d
dólares por unidad de tiempo y el tipo de interés, r, fuese el mismo a lo largo del
tiempo, la ecuación anterior se puede reescribir en forma continua como:
K > d / r [34]
Black (1975) considera el pago de un dividendo finito, discreto y, a su vez, cierto.
La aproximación de Black constituye, por tanto, la base en la consideración del
dividendo a la hora de valorar las opciones sobre acciones. Una vez que Smith
(1976) demuestra que una opción americana puede generar beneficio para su
poseedor si la ejercita anticipadamente, justo el instante antes del pago del
dividendo, Black recomienda aproximar el valor de una opción call americana al
mayor valor entre los dos siguientes:
a) Una opción call europea donde se sustituye el precio de la acción por el
precio de la acción menos el valor actual del dividendo garantizado, es decir:
c(
S,
T,
X)
donde
−r
( t−τ
)
Sτ
= Pτ
− αDe
para τ < t
[35]
Sτ
= Pτ
para t ≤ τ ≤ T
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