cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

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φ(.)
σ
[ ρ ρ − ρ ]
M Ms sσ Mσ
= [11]
2 1/2
(1−
ρsσ
)
donde los subíndices M, s y σ de los coeficientes de correlación, ρ, se refieren
al mercado, a la acción y a la volatilidad de la propia acción, respectivamente.
En el caso especial en que no hay correlación entre la rentabilidad del mercado
y la volatilidad del activo individual, entonces la cartera cubierta tendrá una
β=0 y φ(.) = 0 . Esta propìedad se puede dar sólo cuando se supone que el
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activo subyacente es la cartera de mercado ( σ = σM
) y µ − r = σM
10 (es decir, la
prima de riesgo del activo subyacente es igual a la varianza del mercado).
Este supuesto, como ya comentamos, simplifica la ecuación en derivadas
parciales inicial, que puede resolverse directamente cuando se trata de una
opción sobre la cartera de mercado, pero para opciones sobre activos
individuales la especificación de equilibrio para el precio del riesgo requiere una
variable de estado adicional, la varianza del mercado.
La posibilidad de una correlación constante entre las tasas de cambio de
volatilidad y el consumo agregado (varianza de mercado constante) se analiza
en Wiggins (1987) y en Hull y White (1987), aunque éstos últimos no examinan
ni las restricciones sobre las preferencias ni el espacio de estados que se
requiere.
A diferencia de Wiggins (1987) y Hull y White (1987), Scott (1987) forma la
cartera cubierta con dos opciones call de diferentes maduraciones y una acción
como activo subyacente, análisis que ya había sido examinado antes por otros
autores como Jones (1984) y Eisenberg (1985). Los supuestos para la
obtención de la solución analítica, así como la expresión final del valor de una
opción es similar a la de Hull y White (1987).
La principal desventaja de estos modelos generales de volatilidad estocástica,
es que son difíciles de estimar por máxima verosimilitud. Concretamente y
como mencionan Melino y Turnbull (1990, 1991), es que, dado que es bastante
β ≡ C /V ,
10 Tanto β como σ M son la notación para los modelos CAPM de Sharpe, de manera que ip ip p
donde C ip es la covarianza entre la rentabilidad del activo i y la rentabilidad para la cartera p y Vp es la
varianza de la cartera p. Por otro lado, σ M es la desviación estándard de la cartera de mercado. Para más
detalles, ver W. Sharpe (1981, 2ª Edición).