cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

dP
P
∗
∗ ∗
∗
= ( α − λ +
∗ P k P ) dt dqP
donde P* denota el valor de la cartera y el resto de variables tienen el mismo
sentido que en las ecuaciones [6] y [9] anteriores, pero referidas a esta cartera
en particular.
Se puede apreciar que la rentabilidad de esta cartera en su conjunto es un
proceso de saltos "puro", donde la parte continua y no anticipada del stock (dz)
se ha compensado con la de la opción (dzw ). En efecto, mediante la elección de
la proporción activo/opciones igual a la de la cartera sin riesgo de B-S se habrá
conseguido compensar y así eliminar, el componente de riesgo (sistemático),
originado por la parte continua no anticipada del proceso (dz P ) 6 . El único
término de incertidumbre en la rentabilidad de la cartera se encuentra ahora en
∗
el término de salto, (dqP ).
La cartera en su conjunto, por tanto, presenta sólo riesgo "no sistemático",
donde todo el riesgo sistemático ha sido compensado, con la formación de la
cartera, y por tanto, en términos de la metodología CAPM, la "β" de esta cartera
es cero, y en consecuencia, su rentabilidad debe ser igual a la del activo sin
riesgo 7 *
, esto es, ( α r ).
P =
En base a este supuesto, y siguiendo un álgebra similar a la de B-S, Merton
obtiene una ecuación en derivadas parciales similar a la que resulta con la
aproximación de Samuelson que comentamos con anterioridad, [12], con la
única diferencia de que se sustituyen las tasas de rentabilidad esperada de la
acción, α, y de la opción, g(S,τ), en el equilibrio por la tasa de interés sin riesgo,
r:
0 2 SS
S
135
{ F(
SY,
τ)
− F(
S,
) }
1 2 2
= σ S F + ( r − λk)
SF − Fτ
− rF + λξ
τ
[13]
sujeto a las mismas condiciones de contorno anteriores.
6 Ya que wdz= wdzwy
la cartera combina una posición larga en el activo y una corta en la opción.
1 2
7 Recuérdese que, en equilibrio, la rentabilidad αi del activo i se puede expresar como
α = r + ( α − r)
β , siendo α M la rentabilidad de la cartera de mercado.
i
M
i