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La tercera y última aproximación 8 se deriva del modelo de arbitraje para
valoración de activos (APT, "arbitrage pricing theory") de Ross (1976). En este
caso, Ross supone que los componentes de saltos de las rentabilidades de los
stocks son independientes. Supone además, que hay m stocks, de manera que
se pueden formar carteras cubiertas con stocks y opciones del tipo B-S con
cada uno de los m stock existentes. Con el conjunto de esas carteras cubiertas
para los m stocks y el activo sin riesgo, forma a continuación una cartera
conjunta H. Cuanto mayor sea el número de stocks (m sea más grande), se
irán formando carteras cada vez más diversificadas a las que Ross llama
"carteras bien diversificadas", carteras, cuyo riesgo (no sistemático) tenderá a
cero, y cuando m → ∞ la cartera H no tendrá riesgo, de manera que su
rentabilidad esperada se igualará a la tasa de interés sin riesgo ( H r = α ). Este
resultado lleva finalmente a la misma ecuación en derivadas parciales que se
obtuvo en las demás aproximaciones.
En el caso de "no saltos", B-S (1973, pg. 645, eq.14) derivaba el número de
acciones que debían de comprarse por cada opción vendida para crear la
cartera cubierta. Este ratio de cobertura venía dado por:
N 1
= ∂W
/ ∂S
= φ(
d )
[18]
siendo φ(d) la función de distribución normal evaluada en d . Sin embargo,
cuando hay saltos, no hay posibilidad de crear una cartera sin riesgo. No
obstante, hay una combinación que sí puede eliminar todo el riesgo
sistemático. El número de acciones requerida para esta cobertura, N*, es igual
a F / S,
que se obtiene diferenciando la fórmula [5]. Para el caso especial de
la fórmula [6] este ratio viene dado por:
−λ
τ ′ n
e ( λτ)
N * =
φ[
d(
n)
]
[19]
n!
∑ ∞
n=
0
2
2
2 2
donde d(
n)
≡ [ log( S/
E)
+ ( r + σ / 2)
τ + nδ
/ 2]
( σ τ + nδ
) .
De hecho, cuando λ=0, [19] se reduce a [18].
n
′
8 Esta aproximación es la preferida por Jones (1984), ya que la conclusión de una una beta igual a cero
para la cartera cubierta no se sustenta en la evidencia empírica. Black , Jensen y Scholes (1972) indican
que tales carteras tienen rentabilidades esperadas por encima de la tasa de interés sin riesgo.
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