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Para solventar el problema de la varianza de rentabilidad constante, Schaefer y
Schwartz (1987), desarrollan un modelo sencillo para valorar opciones sobre
deuda teniendo en cuenta otra característica importante del bono subyacente: la
desviación estándard es proporcional a la duración 18 del bono. Este supuesto
significa que a diferencia del modelo B-S y Ball y Torous (1983) que no consideran
esta característica, los valores de la opción reflejan el hecho de que la dinámica
del precio del bono cambia cuando el bono se aproxima a la maduración,
concretamente, refleja el hecho de que la varianza de las rentabilidades de un
bono tiende a reducirse cuando el bono se aproxima a la maduración (las
volatilidades del bono son dependientes del tiempo y tienden a cero con el tiempo
a la expiración).
El supuesto de tipos de interés estocásticos también es planteado en Rabinovith
(1989), Turnbull y Milne (1991) y Amin y Jarrow (1992).
Rabinovith (1989) obtiene fórmulas para la valoración no sólo de opciones sobre
bonos, sino también de opciones sobre acciones, haciendo uso de la aproximación
de Merton (1973) para acciones y del modelo de valoración de bonos de Vasicek
(1977) para los bonos.
Mediante análisis numérico, supone que el tipo de interés sigue un proceso
Ornstein-Uhlenbeck, que revierte en media, que también ha sido utilizado por
Merton (1971), Vasicek (1977), Brennan y Schwartz (1977a), Dothan (1978) y
Courtadon (1982) y que se define de la siguiente manera:
dr = q(
m − r)
dt + vdz
[22]
donde q ( m - r) es el cambio esperado instantáneo del tipo de interés a corto
plazo, v 2 es la varianza instantánea del tipo de interés y dz es un proceso Wiener.
El parámetro m representa la media del tipo de interés a largo plazo al cual
revierte r, tipo de interés a corto plazo, a una velocidad proporcional a q.
18 Duración entendida como la elasticidad del precio del bono a las variaciones de la tasa de interés (Bierwag
[1987], Calatayud [1993b] y Calatayud y Calero [1994].
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