cs21 difusión de las ideas.pdf - Exordio

Finalmente, se llega al Proceso de difusión lognormal para el precio del activo,
como lo define Smith (1976). Merton (1976a) se refiere a él como un proceso o
movimiento Geométrico Browniano para las variaciones en el precio a través del
tiempo. En ese caso, la rentabilidad sigue un proceso simple de Itô. Black y
Scholes (1973) lo denominan como paseo aleatorio en tiempo continuo y al igual
que Samuelson (1965), Sprenkle (1962) y Boness (1964), suponen que los precios
del stock se generan por un proceso de difusión lognormal, con la diferencia
fundamental de que B-S limitan la arbitrariedad en el valor de los parámetros en
base a un argumento de arbitraje dinámico sobre el que nos extenderemos más
adelante.
Este proceso se especifica del siguiente modo:
dS/S= µdt + σdz [10]
donde µ es la rentabilidad esperada instantánea del precio de la acción, S, 2 es la
varianza instantánea de la rentabilidad del precio de la acción y dz es un proceso
Wiener, definido igual que en [5].
Como indica Rubio (1989), la ecuación [10] representa un proceso simple de Itô,
donde el primer término es el cambio esperado, mientras que el segundo término
es el componente incierto, no anticipado de la rentabilidad de S. Además, si dS
sigue un proceso Geométrico Browniano y dz es un proceso de Wiener, se
demuestra que S(t) está distribuída de forma logarítmico normal 7 .
La diferencia fundamental de este proceso con el anterior de Samuelson (1965)
está en que mientras en el de Samuelson se han de utilizar diferentes tasas de
descuento para la acción y para la opción, en el procedimiento de arbitraje que
introducen B-S para la obtención del valor de una opción, esta tasa de descuento
es la misma e igual al tipo de interés sin riesgo, como ya se explicará más
adelante. De hecho, tomando ß=α=r en el modelo denominado α-ß de Samuelson
(1965), se obtiene la solución de B-S.
7 Para su demostración, ver Rubio (1989) apéndice.
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