Die Geschichte der Metallfedern und der Federntechnik in ...

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Teil gestaucht werden und setzt den Drehpunkt in der Mitte des Querschnitts
(also bei h/2) an. Damit wäre er zum richtigen Ergebnis gelangt,
wenn von ihm nicht ein Gedankenfehler anderer Art gemacht worden wäre.
Er fand nicht = 6·F·l/b·h 2 , sondern nur = 3·F·l/b·h 2 [5.180]. (Mit wird
jeweils die in den Randfasern auftretende höchste Spannung bezeichnet,
wobei der Spannungsbegriff erst später eingeführt wurde.)
Von Jakob Bernoulli (1654 - 1705) wird erstmals die Frage bearbeitet,
welche Form die ursprünglich gerade Achse eines Biegebalkens durch die
Biegung annimmt. Im Zeitraum zwischen 1691 und 1705 hatte sich Bernoulli
wiederholt diesem Problem der Bestimmung der Elastica, der sogenannten
elastischen Linie des Biegebalkens, zugewandt. Dabei kommen
ihm die gerade von Leibniz entwickelten Grundlagen (Grundgedanken) zur
Infinitesimal- bzw. Differentialrechnung zugute.
Bernoulli formuliert eine wichtige Voraussetzung, die als grundlegende
Annahme der technischen Balkenbiegelehre gilt, die Hypothese vom Ebenbleiben
der Querschnitte, die auch als Normalenhypothese bezeichnet wird.
Sie besagt, dass die vor der Verformung zur Balkenachse senkrechten Querschnitte
bei der Verformung eben und normal zur Balkenachse bleiben, wie
Bild 5.6 zeigt. Nachbarquerschnitte verdrehen sich, erfahren aber keine
Verwölbung. Das schließt aber wiederum die Existenz von Schubspannungen
im Querschnitt aus.
a) b)
. . .
. .
.
Bild 5.6: Die Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte beim
Biegen nach [5.52]. a) vor der Biegung; b) nach der Biegung
Unter dieser Voraussetzung und bei Gültigkeit des Hooke’schen Gesetzes
(einachsiger Spannungszustand) gilt dann, dass die Krümmung k = 1/R der
elastischen Linie (R: Krümmungsradius) an jeder Stelle dem dort vorhandenem
Biegemoment M der äußeren Kräfte proportional ist. Ausgedrückt in
der Sprache der sich zu dieser Zeit mächtig entfaltenden Differential- und
Integralrechnung hat Bernoulli die Differentialgleichung für die elastische
Linie in der Form