lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.6 Productos vectorial y matricial 83
c) i. Sea E 5 [1 0 1 0 0 0] y encuentre E*A. Describa cómo se compone EA de partes
de A y la manera en que la relación depende de la posición de los elementos 1 en
la matriz E.
ii. Sea E 5 [2 0 1 0 0 0] y encuentre E*A. Describa cómo se compone EA de partes
de A y la manera en que la relación depende de la posición de los elementos
distintos de cero en la matriz E.
d) Asuma que A es una matriz de n 3 m y E es de 1 3 n, donde el k-ésimo elemento de E
es igual a algún número p. De a) y b) formule una conclusión sobre la relación entre A y
EA. Pruebe su conclusión generando una matriz aleatoria A (para alguna elección de n
y m), formando dos matrices E diferentes (para alguna elección de k y p), y encontrando
EA para cada E. Repita esto para otra matriz A.
e) Suponga que A es una matriz de n 3 m y E es de 1 3 n, donde el k-ésimo elemento de
E es igual a algún número p y el j-ésimo elemento de E es igual a algún número q. Del
inciso c) formule una conclusión sobre la relación entre A y EA. Pruebe su conclusión
generando una matriz aleatoria A, formando dos matrices diferentes E de la forma descrita
y encontrando EA para cada E. Repita lo anterior para otra matriz A.
f ) Suponga que A es de n 3 m y F es de m 3 1, donde el k-ésimo elemento de F es igual
a algún número p y el j-ésimo elemento de F es igual a algún número q. Considere AF.
Realice un experimento como el anterior para determinar una conclusión sobre la relación
entre AF y A.
9. Matriz triangular superior
a) Sean A y B cualesquiera dos matrices aleatorias de 3 3 3. Sea UA 5 triu(A) y UB 5
triu(B). El comando triu (doc triu) forma matrices triangulares superiores. Encuentre
UA*UB. ¿Qué propiedad tiene el producto? Repita para otros tres pares de matrices
aleatorias de n 3 n, haciendo uso de diferentes valores de n.
b) (Lápiz y papel) A partir de sus observaciones escriba una conclusión acerca del producto
de dos matrices triangulares superiores. Pruebe su conclusión usando la definición de
multiplicación de matrices.
c) ¿Cuál sería su conclusión acerca del producto de dos matrices triangulares inferiores?
Pruebe su conclusión para al menos tres pares de matrices triangulares inferiores. [Sugerencia:
Use tril(A) y tril(B) para generar matrices triangulares inferiores a partir de las
matrices aleatorias A y B (doc tril).]
10. Matrices nilpotentes
Se dice que una matriz A diferente de cero es nilpotente si existe un entero k tal que A k 5 0.
El índice de nilpotencia se define como el entero más pequeño para el que A k 5 0.
a) Genere una matriz aleatoria de 5 3 5. Sea B5triu(A,1), ¿qué forma tiene B? Compare
B 2 , B 3 , etcétera; demuestre que B es nilpotente y encuentre su índice de nilpotencia.
b) Repita las instrucciones del inciso a) para B5triu(A,2).
c) Genere una matriz aleatoria A de 7 3 7. Repita los incisos a) y b) usando esta A.
d) Con base en la experiencia adquirida en las partes a), b) y c) (y más investigación sobre
el comando B5triu(A,j), donde j es un entero), genere una matriz C de 6 3 6 que sea
nilpotente con un índice de nilpotencia igual a 3.