lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

352 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
Ahora se demostrará la aplicación del concepto de rango, para determinar si un sistema de
ecuaciones lineales tiene soluciones o si es inconsistente. De nuevo, se considera el sistema de
m ecuaciones en n incógnitas:
a x a x a x b
11 1 12 2 1n
n 1
a x a x a x b
21 1 22 2 2n
n 2
(9)
o o o o
a x a x a x b
m1 1 m2 2
mn n m
lo que se escribe como Ax 5 b. Se utiliza el símbolo (A, b) para denotar la matriz aumentada
de m 3 (n 1 1) obtenida (como en la sección 1.3) agregando el vector b a A.
TEOREMA 9
DEMOSTRACIÓN
El sistema Ax 5 b tiene cuando menos una solución si y sólo si b P C A
. Esto ocurrirá si
y sólo si A y la matriz aumentada (A, b) tienen el mismo rango.
Si c 1
, c 2
, . . . , c n
son las columnas de A, entonces podemos escribir el sistema (9) como
x 1
c 1
1 x 2
c 2
1 . . . 1 x n
c n
5 b (10)
El sistema (10) tendrá solución si y sólo si b se puede escribir como una combinación
lineal de las columnas de A. Es decir, para tener una solución debemos tener b P C A
. Si
b P C A
, entonces (A, b) tiene el mismo número de columnas linealmente independientes
de A así que A y (A, b) tienen el mismo rango. Si b F C A
, entonces ρ(A, b) 5 ρ(A) 1 1 y
el sistema no tiene soluciones. Esto completa la prueba.
EJEMPLO 10
Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
Determine si el sistema
tiene soluciones.
Solución
2 4 6
Sea A
4 5 6
. La forma escalonada por renglones de A es
2 7 12
1 2 3
0 1 2
0 0 0
y ρ(A) 5 2. La
forma escalonada por renglones de la matriz aumentada (A, b) 5
es
que tiene tres pivotes, por lo que ρ(A, b) 5 3 y el sistema no tiene solución.
EJEMPLO 11
Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
Determine si el sistema
tiene soluciones.
3x 2x 12x
54
1 2 3
2x 1x 23x
522
1 2 3
4x 2x 10x
56
1 2 3