lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

284 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
suma, como sucede en el ejemplo 3. Para ver esto, suponga que (x 1
, y 1
) y (x 2
, y 2
) están en V.
Entonces,
(x 1
, y 1
) 1 (x 2
, y 2
) 5 (x 1
1 x 2
, y 1
1 y 2 )
Si el vector del lado derecho estuviera en V, se tendría
y 1
1 y 2 5 2(x 1 1 x 2 ) 1 1 5 2x 1 1 2x 2 1 1
Pero y 1
5 2x 1
1 1 y y 2
5 2x 2
1 1 de manera que
Por lo tanto, se concluye que
y 1
1 y 2 5 (2x 1 1 1) 1 (2x 2 1 1) 5 2x 1 1 2x 2 1 2
( x x , y y ) V si( x , y ) V y ( x , y ) V
1 2 1 2 1 1 2 2
Por ejemplo, (0,1) y (3, 7) están en V, pero (0, 1) 1 (3, 7) 5 (3, 8) no está en V porque 8 ≠ 2 ? 3
1 1. Una forma más sencilla de comprobar que V no es un espacio vectorial es observar que
0 5 (0, 0) no se encuentra en V porque 0 ≠ 2 ? 0 1 1. No es difícil demostrar que el conjunto
de puntos en
2
que está sobre cualquier recta que no pasa por (0, 0) no constituye un espacio
vectorial.
EJEMPLO 6
3
El conjunto de puntos en que se encuentran en un plano
que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
Sea V 5 {(x, y, z): ax 1 by 1 cz 5 0}. Esto es, V es el conjunto de puntos en
3
que está en
el plano con vector normal (a, b, c) y que pasa por el origen. Al igual que en el ejemplo 4, los
vectores se escriben como renglones en lugar de columnas.
Suponga que (x 1
, y 1
, z 1
) y (x 2
, y 2
, z 2
) están en V. Entonces (x 1
, y 1
, z 1
) 1 (x 2
, y 2
, z 2
) 5 (x 1
1
x 2
, y 1
1 y 2 , z 1 1 z 2 ) P V porque
ax ( x) by ( y) cz ( z)
( ax by cz ) ( ax by cz ) 0 0
0
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
Por lo tanto, el axioma i) se cumple. Los otros axiomas se verifican fácilmente. De este modo,
3
el conjunto de puntos que se encuentra en un plano en que pasa por el origen, constituye un
espacio vectorial.
EJEMPLO 7
El espacio vectorial P n
Sea V 5 P n
, el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n. † Si
p P P n
, entonces
n
n1
px ( ) ax a x axa
n
n1
1 0
donde cada a i
es real. La suma de p(x) 1 q(x) está definida de la manera usual: si q(x) 5 b n
x n 1
b n21
x n21 1 . . . 1 b 1
x 1 b 0
, entonces
n
n1
px ( ) qx ( ) ( a b) x ( a b ) x ( ab) x ( a b )
n
n
n1 n1
1 1 0 0
Es obvio que la suma de dos polinomios de grado menor o igual a n es otro polinomio de grado
menor o igual a n, por lo que se cumple el axioma i). Las propiedades ii) y v) a x) son claras. Si
se define el polinomio 0 5 0x n 1 0x n21 1 . . . 1 0x 1 0, entonces 0 P P n
y el axioma iii) se cumple.
Por último, sea 2p(x) 5 2a n
x n 2 a n21
x n21 2 . . . 2 a 1
x 2 a 0
, se ve que el axioma iv) se cumple, con
lo que P n
es un espacio vectorial real.
†
Se dice que las funciones constantes (incluyendo la función f(x) 5 0) son polinomios de grado cero.