lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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324 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales VII. Los polinomios 3, 2x, 2x 3 y 3x 4 son linealmente independientes en P 4 . VIII. Las matrices 1 0 0 1 0 1 2 3 0 0 , 0 0 , 1 0 y 5 0 son linealmente independientes en M 22 . De los problemas 1 al 27 determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independiente. 1. ⎛ 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ ; ⎝ ⎜ −3⎠ ⎟ 2. ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ −1 ⎟ ; ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 7⎠ ⎟ 3. ⎛21⎞ ⎛25⎞ ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ , ⎝ ⎜ 20⎠ ⎟ 4. ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ −1 ⎟ ; ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 8⎠ ⎟ 5. ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 4⎞ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ; ⎝ ⎜ 7⎠ ⎟ 6. ⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ 7. ⎛ −3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ; ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ; 2 10 ⎝ ⎜ −5⎠ ⎟ 8. ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0 ⎟ ; ⎜ 1 ⎟ ; ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ 9. ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ 0 ⎟ ; ⎜ 1 ⎟ ; ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ 10. ⎛ −3⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 4 ⎟ ; ⎜ −1 ⎟ ; ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 8⎠ ⎟ 11. ⎛ 1⎞ ⎛21⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 , ⎟ 1 , ⎜ 21 ⎟ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎝ ⎜21 ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ 12. ⎛ −3⎞ ⎛ 7⎞ ⎛1⎞ ⎜ 4 ⎟ ; ⎜ −1 ⎟ ; ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎝ ⎜8⎠ ⎟ 13. ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ 14. ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ −2⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ −1⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ −2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ −1⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 7⎞ 15. ⎜ −1 ⎟ ; ⎜ 0 ⎟ ; ⎜ 3 ⎟ ; ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 5⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ 16. ⎛22⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 21⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 , ⎜ 0 , 6 ⎟ ⎜⎜ , ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 5⎠ ⎟ ⎝21⎠ ⎟ ⎝ ⎜22⎠ ⎟ 17. En P 2 : 1 2 x, x 18. En P 2 : 2x, x 2 2 2x, 3x 1 5x 2 19. En P 2 : 1 2 x, 1 1 x, x 2 20. En P 2 : x, x 2 2 x, x 3 2 x 21. En : 21,( x21)( x22),( x21)( x22)( x23), x 4 22. En P 3 : 2x, x 3 2 3, 1 1 x 2 4x 3 , x 3 1 18x 2 9 ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 0 −3⎞ ⎛ ⎞ 23. En M 22 : , , ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 7 −5⎠ ⎟ 4
4.5 Independencia lineal 325 ⎛ 1 −1⎞ ⎛ −1 0⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0 1⎞ 24. Sea M 22 : , , , ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ −1 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 1 0⎠ ⎟ ⎛ −1 0⎞ ⎛ ⎞ ⎛8 −5⎞ ⎛ 4 −1⎞ ⎛ ⎞ 25. Sea M 22 : , , , ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 7 −4⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2 ⎠ ⎟ , ⎝ ⎜ −1 4⎠ ⎟ *26. En C[0, 1]: sen x, cos x *27. En C[0, 1]: x, x , 3 x a c 28. Determine una condición sobre los números a, b, c y d tal que los vectores b y d sean linealmente dependientes. a a a 11 12 13 *29. Encuentre una condición sobre los números a ij tal que los vectores a a 21 , 22 y a 23 a a a sean linealmente dependientes. ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ 30. ¿Para qué valor(es) de a serán linealmente dependientes los vectores ⎜ 2 ⎟ 1 , ⎜ − ⎟ , ⎜ α ⎟ ? ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ 31. ¿Para qué valor(es) de a serán linealmente dependientes los vectores [Sugerencia: observe con atención.] 32. Pruebe el teorema 3. [Sugerencia: observe con atención el sistema (8).] 31 32 33 ⎛ 2⎞ ⎛ −4⎞ ⎛α⎞ ⎜ −3 ⎟ , ⎜ 6 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ? ⎝ ⎜ 1⎠ ⎟ ⎝ ⎜ −2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ 33. Demuestre que si los vectores v 1 , v 2 , . . . , v n son linealmente dependientes en m , con m , n, y si v n11 es cualquier otro vector en m , entonces el conjunto v 1 , v 2 , . . . , v n , v n11 es linealmente dependiente. 34. Demuestre que si v 1 , v 2 , . . . , v n (n $ 2) son linealmente independientes, entonces también lo son v 1 , v 2 , . . . , v k , donde k , n. 35. Demuestre que si los vectores v 1 y v 2 diferentes de cero en n son ortogonales (vea la página 75), entonces el conjunto {v 1 , v 2 } es linealmente independiente. *36. Suponga que v 1 es ortogonal a v 2 y v 3 y que v 2 es ortogonal a v 3 . Si v 1 , v 2 y v 3 son diferentes de cero, demuestre que el conjunto {v 1 , v 2 , v 3 } es linealmente independiente. 37. Sea A una matriz cuadrada (de n 3 n) cuyas columnas son los vectores, v 1 , v 2 , . . . , v n . Demuestre que v 1 , v 2 , . . . , v n son linealmente independientes si y sólo si la forma escalonada por renglones de A no contiene un renglón de ceros. De los problemas 38 al 44 escriba las soluciones a los sistemas homogéneos dados en términos de uno o más vectores linealmente independientes. 38. x 1 1 x 2 1 x 3 5 0 39. x 1 2 x 2 1 7x 3 2 x 4 5 0 2x 1 1 3x 2 2 8x 3 1 x 4 5 0 40. x 1 1 x 2 1 x 3 5 0 x 1 2 x 2 2 x 3 5 0 41. x 1 1 2x 2 2 7x 3 5 0 2x 1 1 5x 2 1 4x 3 5 0
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Respuestas A LOS PROBLEMAS IMPARES
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672 CAPÍTULO 1 47. 49. 51. 53. 1
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738 CAPÍTULO 6 3. n p j,n p a,n T
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740 CAPÍTULO 6 C 21 ⎛ 4 4 0 0
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742 CAPÍTULO 6 13. 1 5 det I 5 det
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744 CAPÍTULO 6 una hipérbola con
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746 CAPÍTULO 6 ⎛ 3. Para el prob
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758 Índice Ecuaciones diferenciale
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760 Índice Negativa definida, 585
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762 Índice representación de un,
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lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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