lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Respuestas a los problemas impares 711
33. No
35. ρ(A) 5 ρ(A, b) por lo que se tiene solución
única.
37.
⎛ 1
⎜
⎜
3
⎜ 0
⎜
⎝ 5
⎛ 1
⎜
⎜
0
⎜ 0
⎜
⎝ 0
22
0
4
0
22
6
4
10
1
2
21
3
1
21
21
22
1
22
21
21
1
25
21
26
|
|
|
|
|
|
|
|
2⎞
28
⎟
⎟ →
1⎟
⎟
0⎠
2⎞
214
⎟
⎟ →
1⎟
⎟
212⎠
⎛ 1 22
1 1 | 2⎞
⎜
0 6 21
25
| 214
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 1 27
| 231⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 1 27
| 234⎠
ρ(A) 5 3 ≠ 4 5 ρ(A, b) ⇒. No hay solución.
39. Dado que A es una matriz cuadrada triangular
inferior con ceros en la diagonal, el
renglón superior está compuesto sólo por
ceros, así que hay menos de n pivotes en la
diagonal en forma escalonada. Por tanto,
ρ(A) , n.
41. ρ(A t ) 5 dimensión del espacio de las columnas
de A t 5 dimensión del espacio de
los renglones de A 5 dimensión del espacio
de las columnas de A (por el teorema
4) 5 ρ(A).
43. ii) Sea H 5 imagen de A y sea {v 1
, v 2
,...,
v k
} una base para H. Como B es invertible,
N B
5 {0}, lo que significa que
{Bv 1
, Bv 2
,..., Bv k
} es un conjunto linealmente
independiente en y, por
m
lo tanto, es una base para la imagen
BA. Entonces ρ(BA) 5 k 5 ρ(A).
ii) Como C es invertible, imagen C 5 n
.
n
Sea h ∈ H; entonces existe x ∈ tal
que Ax 5 h. Como imagen C 5 n
,
n
existe y ∈ tal que Cy 5 x. Entonces
ACy 5 h. Así, H ( imagen AC. Si v
∈ imagen AC, existe u en n tal que
ACu 5 v. Pero entonces v 5 A(Cu) de
manera que v ∈ imagen A 5 H. Por lo
tanto, imagen AC ( H de manera que
imagen AC 5 H y ρ(A) 5 ρ(AC).
45. Como ρ(A) 5 5, los cinco renglones de A
son linealmente independientes. Entonces
los cinco renglones de (A, b) son linealmente
independientes y ρ(A, b) 5 5.
47. Por el problema 43, ρ(A) 5 ρ(AD) 5
ρ(C(AD)) 5 ρ(B).
49. ii) Si existe una x ≠ 0 tal que Ax 5 0, entonces
A(αx) 5 αAx 5 0 para todo α
∈ de manera que ν(A) 5 dim N A
$
1 y ρ(A) 5 n 2 ν(A) # n 2 1 , n.
ii) Si ρ(A) , n, entonces ν(A) 5 n 2 ρ(A)
. 0 de manera que existe una x ≠ 0 tal
que Ax 5 0.
⎧⎛
187⎞
⎛ 246⎞
⎫
⎪⎜
51. Imagen A 5 gen
235
⎟ ⎜
51
⎟ ⎪
⎨ ,
⎬;
⎪
⎝
⎜ 257⎠
⎟
⎝
⎜2148
⎠
⎟ ⎪
⎩
⎭
ρ(A) 5 2; ν(A) 5 3
⎧⎛
. 0284⎞
⎛ 2.
0311⎞
⎪⎜
⎜
20.
5110
⎟ ⎜
⎟
2.
1216
⎟
⎪
⎜
⎟
53. Imagen A 5 gen ⎨⎜
2.
0965⎟
, ⎜2.
4270⎟
,
⎪⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ . 0795⎟
⎜ . 0905
⎪
⎟
⎝
⎜ 2.
0110⎠
⎟
⎝
⎜2.
3365⎠
⎟
⎩⎪
⎛20.
207⎞
⎛ . 0431⎞
⎫
⎜
2.
1811
⎟ ⎜
⎜
⎟
. 0904
⎟ ⎪
⎜
⎟
⎪
⎜2.
5847⎟
, ⎜ . 3574⎟
⎬; ρ(A) 5 4; ν(A) 5 1
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ . 1604⎟
⎜2.
4730 ⎪
⎟ ⎪
⎝
⎜ 2.
4243⎠
⎟
⎝
⎜ . 3101⎠
⎟
⎭⎪
MATLAB 4.7
1. a) A continuación se dan las bases para
los espacios nulos y sus res pectivas dimensiones.
⎧⎛26⎞
⎛26⎞
⎫
⎜
24
⎟ ⎜
23
⎟
Problema 7:
⎪
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪
⎨ ,
⎬
⎪⎜
1⎟
⎜ 0⎟
⎪
⎪⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎩⎝
0⎠
⎝ 1⎠
⎪
⎭
Dimensión 5 2
⎧⎛26⎞
⎫
⎜ ⎟
⎪
Problema 8: ⎜
24
⎨ ⎟
⎪
⎬
⎪⎜
1⎟
⎪
⎪⎜
⎟
⎩⎝
0⎠
⎪
⎭
Dimensión 5 1