lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.10 Matrices elementales y matrices inversas 127
A 5 E E E E
21 21
m
21
21
21
m21
2 1
En forma inversa, suponga que A es invertible. De acuerdo con el teorema 1.8.6 (teorema
de resumen), A es equivalente por renglones a la matriz identidad, lo que significa que A
se puede reducir a I mediante un número finito de operaciones elementales. Para el teorema
1 cada operación de este tipo se logra multiplicando A por la izquierda por una matriz
elemental y, por consiguiente, existen matrices elementales E 1
, E 2
, . . . , E m
tales que
Así, del teorema 1.8.7 en la página 107,
E m
,E m21
, . . . , E 2
E 1
A 5 I
E m
,E m21
, . . . , E 2
E 1
5 A 21
y como cada E i
, es invertible por el teorema 2,
( )
2 2 1
m m21 2 1
1 2 m21
m
1
21
21
21
21
21
A5 A 5 E E E E 5E E E E
(7)
Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental, se ha escrito A como
el producto de matrices elementales y esto completa la prueba.
EJEMPLO 3
Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales
es invertible y escríbala como un producto de ma-
⎛ 2 4 6⎞
Demuestre que la matriz A5
⎜
4 5 6
⎟
trices elementales.
⎝
⎜ 3 1 22⎠
⎟
Solución
Ya se ha trabajado con esta matriz, en el ejemplo 1.3.1 en la página 7. Para resolver el problema
se reduce A a I y se registran las operaciones elementales con renglones. En el ejemplo 1.8.6 en
la página 101 se redujo A a I haciendo uso de las siguientes operaciones:
1
1
R R 24R R 23R 2 R
2 1 2 1 3 1
3 2
R 22R R 15R 2R R1R
1 2 3 2 3 1 3
R 22R
2 3
A 21 se obtuvo comenzando con I y aplicando estas nueve operaciones elementales. De este
modo, A 21 es el producto de nueve matrices elementales:
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 0 1⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 22 0⎞
2
A 1 5
⎜
0 1 22
⎟ ⎜
0 1 0
⎟ ⎜
0 1 0
⎟ ⎜
0 1 0
⎟ ⎜
0 1 0
⎟
⎝
⎜ 0 0 1⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 1⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 21⎠
⎟
⎝
⎜ 0 5 1⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 1⎠
⎟
R 22R R 1R 2R R 15R R 22R
2 3 1 3 3 3 2 1 2
1
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 0 0⎞
2
1
3
⎜
0 2 0
⎟ ⎜
0 1 0
⎟ ⎜
24 1 0
⎟ ⎜
0 1 0
⎟
3
⎜
⎝ 0 0 1⎠
⎟
⎝
⎜23 0 1⎠
⎟ ⎜
⎝ 0 0 1⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 1⎠
⎟
1
2 3 R R 23R R 24R 2 3 1 2 1
1
2 2 R
1