lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

592 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
o cualquier matriz obtenida reacomodando los bloques de Jordan en J. La primera matriz
corresponde a una multiplicidad geométrica de 3 (para λ 5 2); la segunda corresponde a una
multiplicidad geométrica de 2, y la tercera a una multiplicidad geométrica de l.
Problemas 6.6
A UTOEVALUACIÓN
I. ¿Cuál de las siguientes no es matriz de Jordan?
a)
⎛ 3
⎜
0
⎝
⎜ 0
1
3
0
0⎞
0
⎟
4⎠
⎟
b)
⎛ 3
⎜
0
⎝
⎜ 0
1
4
0
0⎞
0
⎟
5⎠
⎟
c)
⎛ 3
⎜
0
⎝
⎜ 0
1
3
0
0⎞
0
⎟
3⎠
⎟
d)
⎛ 3
⎜
0
⎝
⎜ 0
0
4
0
0⎞
0
⎟
5⎠
⎟
De los siguientes enunciados, indique en cada caso si es verdadero o falso.
II. Toda matriz es similar a una matriz de Jordan.
III. Suponga que A es una matriz de 2 3 2 que tiene el valor característico correspondiente v 1
.
Entonces existe un vector v 2
que satisface la ecuación (A 2 2I)v 2
5 v 1
.
IV. Suponga que A es una matriz de 2 3 2 cuyo polinomio característico es (λ 2 2I) 2 tal que la
multiplicidad geométrica de 2 es 1. Entonces, si v 1
es un vector característico de A, existe un
vector v 2
que satisface la ecuación (A 2 2I)v 2
5 v 1
.
De los problemas 1 al 17 determine si la matriz dada es una matriz de Jordan.
1.
⎛1
⎝
⎜
0
1⎞
⎛1
26 ⎠
⎟ 2. ⎝
⎜
0
0⎞
0⎠
⎟ 3.
⎛1
⎝
⎜
0
1⎞
⎛1
2⎠
⎟ 4. ⎝
⎜
0
⎛1
2⎞
1⎠
⎟ 5. ⎜
0
⎝
⎜ 0
0
3
0
0⎞
1
⎟
3⎠
⎟
6.
⎛1
⎜
0
⎜
⎝ 0
2
3
0
0⎞
2
⎟
3⎠
⎟
7.
⎛ 3
⎜
0
⎝
⎜ 0
1
3
0
0⎞
1
⎟
3⎠
⎟
8.
⎛ 3
⎜
0
⎜
⎝ 0
1
3
0
0⎞
1
⎟
2⎠
⎟
9.
⎛1
⎜
0
⎝
⎜ 0
0
3
0
0⎞
1
⎟
4⎠
⎟
10.
⎛1
⎜
0
⎜
⎝ 0
1
3
0
0⎞
1
⎟
3⎠
⎟
11.
⎛1
⎜
0
⎝
⎜ 0
0
3
0
0⎞
1
⎟
3⎠
⎟
12.
⎛1
⎜
0
⎝
⎜ 0
1
1
0
0⎞
1
⎟
1 ⎠
⎟
13.
⎛ 1 0 0 0 0⎞
⎜
0 2 1 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 2 1 0⎟
⎜
⎟
0 0 0 2 0
⎜
⎝ 0 0 0 0 2⎠
⎟
14.
⎛ 1 0 0 0 0⎞
⎜
0 1 2 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 1 2 0⎟
⎜
⎟
0 0 0 1 0
⎜
⎝ 0 0 0 0 1⎠
⎟
15.
⎛ 2 0 0 0 0⎞
⎜
0 3 1 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 3 0 0⎟
⎜
⎟
0 0 0 5 1
⎝
⎜ 0 0 0 0 5⎠
⎟
16.
⎛ a 0 0 0 0⎞
⎜
0 b 0 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 c 0 0⎟
⎜
⎟
0 0 0 d 0
⎝
⎜ 0 0 0 0 e⎠
⎟
17.
⎛ a 1 0 0 0⎞
⎜
0 a 0 0 0
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 c 1 0⎟
⎜
⎟
0 0 0 c 1
⎝
⎜ 0 0 0 0 c⎠
⎟