lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

454 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
vi.
vii.
n
Producto interno en (p. 432)
(x, y) 5 x 1
y 1
1 x 2
y 2
1 . . . 1 x n
y n
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. Entonces (p. 434)
u y v son ortogonales si (u, v) 5 0
La norma de u, denotada por ||u||, está dada por
|u|| 5 ( uu , )
Conjunto ortonormal
El conjunto de vectores {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es un conjunto ortonormal en V si (p. 434)
(v i
, v j
) 5 0 para i ≠ j
y
||v i
|| 5 ( v , v )
i i 5 1
Si sólo se cumple la primera condición, entonces se dice que el conjunto es ortogonal.
Proyección ortogonal
Sea H un subespacio vectorial con producto interno V con una base ortonormal {u 1
, u 2
, . . . , u k
}.
Si v P V, entonces la proyección ortogonal de v sobre H, denotada por proy H
v, está dada por (p. 436)
Complemento ortogonal
proy H
v 5 (v, u 1
)u 1
1 (v, u 2
)u 2
1 . . . 1 (v, u k
)u k
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal
de H, denotado por H ' , está dado por (p. 437)
H ' 5 {x P V: (x, h) 5 0 para toda h P H}
Si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces (p. 437)
iii. H ' es un subespacio de V.
iii. H ∩ H ' 5 {0}.
iii. dim H ' 5 n 2 dim H si dim V 5 n , q.
Teorema de proyección
Sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que
v P V. Entonces existe un par único de vectores h y p tales que h P H, p P H ' , y (p. 437)
v 5 h 1 p
donde h 5 proy H
v.
Si V tiene dimensión finita, entonces p 5 proy H
' v.
Teorema de aproximación de la norma
Sea H un subespacio de dimensión finita de un espacio con producto interno V y sea v un vector
en V. Entonces, en H, proy H
v es la mejor aproximación a v en el sentido siguiente: si h es
cualquier otro vector en H, entonces (p. 438)
|v 2 proy H
v| , |v 2 h|