lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

70 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Ley asociativa
DEMOSTRACIÓN
DE LOS TEOREMAS
2 Y 3
Como A es de n 3 m y B es de m 3 p, AB es de n 3 p. Entonces (AB)C 5(n 3 p) 3 (p 3 q) es
una matriz de n 3 q. De manera similar, BC es de m 3 q y A(BC) es de n 3 q de manera que
(AB)C y A(BC) son ambas del mismo tamaño. Debe demostrarse que la componente ij de
(AB)C es igual a la componente ij de A(BC). Si se define D 5 (d ij
) 5 AB, entonces
de (12)
d
5
m
∑
a b
ij ik kj
k51
La componente ij de (AB)C 5 DC es
p
∑
dc
5
p
∑
⎛ ⎝
⎜
m
∑
⎞
ab
⎠
⎟ c 5
∑∑
il lj
ik kl lj ik kl lj
l51 l51 k51
k51
l51
m
p
a b c
Ahora se define E 5 (e ij
) 5 BC. Entonces
e
5
p
∑
b c
kj kl lj
l51
y la componente ij de A(BC) 5 AE es
m
∑
ae
5
ik kj
ik kl lj
k51 k51
l51
m
p
∑∑
abc
Así, la componente ij de (AB)C es igual a la componente ij de A(BC). Esto demuestra
la ley asociativa.
Leyes distributivas
Se demuestra la primera ley distributiva [ecuación (7)]. La demostración de la segunda
[ecuación (8)] es idéntica y por lo mismo se omite. Sea A una matriz de n 3 m y sean B
y C matrices de m 3 p. La componente kj de B 1 C es b kj
1 c kj
y la componente ij de
A(B 1 C) es
de (12)
m
m
m
∑a
( b c ) 5
ik kj kj
∑ab
1 ac
ik kj ∑ ik kj
k51 k51 k51
5 componente ij de (AB más la componente ij de AC
y esto demuestra la ecuación (7).