lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

3.1 Vectores en el plano 221
y
Q
y
Q
Figura 3.1
Los segmentos de recta
dirigidos P S Q y Q S P apuntan
hacia direcciones opuestas
0
P
P
x
0
a) P S Q b) Q S P
x
y
Figura 3.2
Un conjunto de segmentos
de recta dirigidos equivalentes
0
x
PUNTO INICIAL
PUNTO TERMINAL
SEGMENTOS DE
RECTA DIRIGIDOS
EQUIVALENTES
El punto P en el segmento de recta dirigido P S Q se denomina punto inicial del segmento y el
punto Q se denomina punto terminal. Las dos propiedades más importantes de un segmento
de recta dirigido son su magnitud (longitud) y su dirección. Si dos segmentos de recta dirigidos
P S Q y R S S tienen la misma magnitud y dirección, se dice que son equivalentes sin importar
en dónde se localizan respecto al origen. Los segmentos de recta dirigidos de la figura 3.2 son
todos equivalentes.
DEFINICIÓN 1
Definición geométrica de un vector
El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de
recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se
denomina una representación del vector.
Observación. Los segmentos de recta dirigidos en la figura 3.2 son todos representaciones del
mismo vector.
De la definición 1 se observa que un vector dado v se puede representar de múltiples formas.
Sea P S Q una representación de v. Entonces, sin cambiar magnitud ni dirección, se puede mover
P S Q en forma paralela de manera que su punto inicial se traslada al origen. Después se obtiene
el segmento de recta dirigido 0 S R, que es otra representación del vector v (vea la figura 3.3).
Ahora suponga que la R tiene las coordenadas cartesianas (a, b). Entonces se puede describir
el segmento de recta dirigido 0 S R por las coordenadas (a, b). Es decir, 0 S R es el segmento de recta
dirigido con punto inicial (0, 0) y punto terminal (a, b). Puesto que una representación de un
vector es tan buena como cualquier otra, se puede escribir el vector v como (a, b).