lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.6 Productos vectorial y matricial 85
residentes de casas que cambiarían de un producto a otro después de un mes (suponga que
cada residente compra uno de los tres productos y que los porcentajes no cambian de un
mes a otro). Esta información se presenta en forma de matriz:
p ij
5 porcentaje que cambia del producto j al producto i
⎛. 8 . 2 . 05⎞
P 5
⎜
. 05 . 75 . 05
⎟
⎜
⎝ . 15 . 05 . 9 ⎠
⎟
P se llama matriz de transición.
Por ejemplo, P 12
5 .2 significa que el 20% de los residentes que compran el producto 2
cambia al producto 1 después de un mes y P 22
5 .75 significa que 75% de los residentes que
compraban el producto 2 continúa comprándolo después de un mes. Suponga que existe
un total de 30 000 residentes.
a) (Lápiz y papel) Interprete los otros elementos de P.
b) Sea x una matriz de 3 3 1, donde x k
5 el número de residentes que compran el producto
k. ¿Cuál es la interpretación de Px? ¿Y de P 2 x 5 P(Px)?
c) Suponga inicialmente que
⎛10 000⎞
x 5
⎜
10 000
⎟
⎝
⎜10 000⎠
⎟
Encuentre P n x para n 5 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 y 50. Describa el comportamiento
de los vectores P n x conforme n crece. ¿Qué interpretación se le puede dar a esto?
d) Suponga inicialmente que
⎛ 0 ⎞
x 5
⎜
30 000
⎟
⎝
⎜ 0 ⎠
⎟
Repita las instrucciones anteriores. Compare los resultados de c) y d).
e) Elija su propio vector inicial para x, en donde las componentes de x sumen 30 000. Repita
las instrucciones y haga una comparación con los resultados anteriores.
f ) Calcule P n y 30 000P n para los valores de n dados antes. ¿Qué observa sobre las columnas
de P n ? ¿Cuál es la relación de las columnas de 30 000 P n y los resultados anteriores
de este problema?
g) Tomemos el caso de una agencia de renta de automóviles que tiene tres oficinas. Un auto
rentado en una oficina puede ser devuelto en cualquiera de ellas. Suponga que
⎛. 8 . 1 . 1⎞
P 5
⎜
. 05 . 75 . 1
⎟
⎝
⎜ . 15 . 15 . 8 ⎟ ⎠
es una matriz de transición tal que P ij
5 porcentaje de autos rentados en la oficina j y
devueltos en la oficina i después de un periodo. Suponga que se tiene un total de 1 000
automóviles. De acuerdo con sus observaciones en los incisos anteriores de este proble-