lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.7 Una aplicación importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales 595
2. Genere una matriz invertible C de 5 3 5. Forme una matriz A tal que λ 5 2 sea un valor característico
de A con multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1, donde las columnas
1 y 2 de C son los vectores característicos o los vectores característicos generalizados
asociados con λ 5 2; μ 5 4 es un valor característico para A con multiplicidad algebraica
3 y multiplicidad geométrica 1, donde las columnas 3 a 5 de A son vectores característicos
o vectores característicos generalizados asociados con μ 5 4. Explique su procedimiento.
Verifique su respuesta final para A mostrando que los productos pertinentes son cero.
6.7 UNA APLICACIÓN IMPORTANTE:
FORMA MATRICIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES
CÁLCULO
Suponga que x 5 f(t) representa alguna cantidad física como el volumen de una sustancia, la
población de ciertas especies, la masa de una sustancia radiactiva en decaimiento o el número
de dólares invertidos en acciones. Entonces la tasa de crecimiento de f(t) está dada por su derivada
f9(t)5 dx/dt. Si f(t) crece a una tasa constante, entonces dx/dt 5 k y x 5 kt 1 C; es decir,
x 5 f(t) es una función de una recta.
Con frecuencia es más interesante y apropiado considerar la tasa relativa de crecimiento
definida por
tamaño real de crecimiento f ′()
t x′
() t
Tasa relativa de crecimiento 5
5 5
tamaño de f()
t f()
t xt ()
(1)
Si la tasa relativa de crecimiento es constante, entonces se tiene
o
x′
() t
5 a
xt ()
(2)
x9(t) 5 ax(t) (3)
ECUACIÓN
DIFERENCIAL
La ecuación (3) se denomina ecuación diferencial porque es una ecuación que incluye una derivada.
No es difícil demostrar que las únicas soluciones a (3) son de la forma
x(t) 5 ce at (4)
VALOR INICIAL
donde c es una constante arbitraria. Sin embargo, si x(t) representa alguna cantidad física, la
práctica usual es especificar un valor inicial x 0
5 x(0) de la cantidad. Después, al sustituir t 5 0
en (4) se tiene x 0
5 x(0) 5 ce a ? 0 5 c, o sea,
x9(t) 5 x 0
e at (5)
La función x(t) dada por (5) es la solución única a (3) que satisface la condición inicial x 0
5 x(0).
La ecuación (3) surge en muchas aplicaciones interesantes. Sin duda, algunas se encuentran
en los libros de cálculo, en el capítulo que introduce la función exponencial. En esta sección se
considera la generalización de la ecuación (3).