lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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148 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 10. ⎛ 2 3 21 6⎞ ⎜ 4 7 2 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜22 5 22 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 24 5 2⎠ 11. ⎛ 1 21 5 8⎞ ⎜ 1 21 6 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 21 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 23 6 4⎠ De los problemas 12 a 21 resuelva el sistema dado usando la factorización LU encontrada en los problemas 1 a 8. Esto es, resuelva Ax 5 LUx 5 b. 12. 14. ⎛1 2⎞ ⎛22 ⎞ A 5 5 ⎝ ⎜ 3 4⎠ ⎟ ; b ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ 1 0 4 A = ⎛ ⎞ , ⎝ ⎜ 2 3⎠ ⎟ = ⎛ ⎞ b ⎝ ⎜ 21⎠ ⎟ 13. ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 2 1⎞ A ⎝ ⎜ 0 3⎠ ⎟ ; b ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ 15. ⎛ 5 21 5 ⎞ ⎛ ⎞ A ⎜ ⎝ 6 3⎠ ⎟ ; b 5 0 ⎝ ⎜ 5⎠ ⎟ 16. ⎛ 1 4 6⎞ ⎛ 21 ⎞ A5 ⎜ 2 21 3 ⎟ ; b 5 ⎜ 7 ⎟ ⎝ ⎜ 3 2 5⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ 17. ⎛ 2 1 7⎞ ⎛ 6⎞ A 5 ⎜ 4 3 5 ⎟ ; b 5 ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎜ 2 1 6⎠ ⎟ ⎜ ⎝ 1⎠ ⎟ 18. ⎛ 3 9 22⎞ ⎛ 3⎞ A 5 ⎜ 6 23 8 ⎟ ; b 5 ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎜ 4 6 5⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ 19. ⎛ 3 5 2⎞ ⎛22 ⎞ A = ⎜ 21 4 21 ⎟ , b = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎜ 5 23 1⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 6⎠ ⎟ 20. ⎛ 1 2 21 4⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ 0 21 5 8 ⎟ ⎜ 211 ⎟ A 5 ⎜ ⎟ ; b 5 ⎜ ⎟ ⎜ 2 3 1 4⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 21 6 4⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎛ 2 3 21 6⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 4 7 2 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 21. A 5 ⎜ ⎟ ; b 5 ⎜ ⎟ ⎜22 5 22 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 24 5 2⎠ ⎝ 4⎠ De los problemas 22 a 30, a) encuentre una matriz de permutación P y matrices triangulares inferior y superior L y U tales que PA 5 LU; b) utilice el resultado del inciso a) para resolver el sistema Ax 5 b. ⎛ 0 2 4⎞ ⎛ 21 ⎞ ⎛ 0 2⎞ ⎛ 3⎞ 22. A 5 5 ⎝ ⎜ 1 4⎠ ⎟ ; b ⎝ ⎜ 2 5⎠ ⎟ 23. A 5 ⎜ 1 21 2 ⎟ ; b 5 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎜ 0 3 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 4⎠ ⎟ 24. ⎛ 0 21 2⎞ ⎛ 1⎞ A = ⎜ 0 4 23 ⎟ 0 , b = ⎜ ⎟ 25. ⎝ ⎜ 5 1 2⎠ ⎟ ⎝ ⎜22 ⎠ ⎟ ⎛ 0 2 4⎞ ⎛ 21 ⎞ A 5 ⎜ 0 3 7 ⎟ ; b 5 ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎜ 4 1 5⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ ⎛ 0 5 21⎞ ⎛ 10⎞ 26. A 5 ⎜ 2 3 5 ⎟ b 5 ; ⎜ 23 ⎟ ⎝ ⎜ 4 6 27⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 5⎠ ⎟ 27. ⎛ 0 2 3 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ 0 4 21 5 ⎟ ⎜ ⎟ A 5 ⎜ ⎟ ; b 5 ⎜ 2 1 ⎟ ⎜ 2 0 3 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 24 5 6⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 0 0 22 3⎞ ⎛22 ⎞ ⎜ 5 0 26 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ 28. A 5 ⎜ ⎟ ; b 5 ⎜ ⎟ 29. ⎜ 2 0 1 22⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 4 22 5⎠ ⎝ 7⎠ ⎛ 0 2 23 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0 0 25 21 ⎟ ⎜ 0 ⎟ A = ⎜ ⎟ , b = ⎜ ⎟ ⎜ 5 21 22 0⎟ ⎜⎜ 22 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝22 0 4 6⎠ ⎝ 0⎠
1.11 Factorizaciones LU de una matriz 149 30. ⎛ 0 22 3 1⎞ ⎛ 6⎞ ⎜ 0 4 23 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ A 5 ⎜ ⎟ ; b 5 ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 23 2⎟ ⎜⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝22 24 5 210 ⎠ ⎝ 5⎠ 31. Suponga que L y M son triangulares inferiores con unos en la diagonal. Demuestre que LM es triangular inferior con unos en la diagonal. [Sugerencia: Si B 5 LM, demuestre que n ∑ ∑ b 5 l m 51 y b 5 l m 5 0 si j . i.] ii ik ki ij ik kj k51 k51 n 32. Demuestre que el producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior. ⎛ 21 2 1⎞ 33. Demuestre que ⎜ 1 24 22 ⎟ tiene más de una factorización LU. ⎝ ⎜ 4 28 24⎠ ⎟ ⎛ 3 23 2 5⎞ ⎜ 2 1 26 0 ⎟ 34. Realice el mismo procedimiento con la matriz ⎜ ⎟ ⎜ 5 22 24 5⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 24 8 5⎠ De los problemas 35 a 41 encuentre una factorización LU para cada matriz singular: 35. ⎛ 1 2⎞ ⎝ ⎜ 2 4⎠ ⎟ 36. ⎛ 21 2 3⎞ ⎜ 2 1 7 ⎟ ⎝ ⎜ 1 3 10⎠ ⎟ 37. ⎛21 1 4 6⎞ ⎜ 2 21 0 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 1 5⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 5 13⎠ 38. ⎛ 1 22 3 21⎞ ⎜ 25 3 21 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜213 5 3 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 27 14 23⎠ 39. ⎛ 2 21 1 7⎞ ⎜ 3 2 1 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 3 0 21⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 5 1 5⎠ 40. ⎛ 2 21 0 2⎞ ⎜ 4 22 0 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜22 1 0 22⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 23 0 6⎠ 41. ⎛ 3 22 21 2⎞ ⎜ 4 3 21 22 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜26 213 1 10⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 224 2 20⎠ De los problemas 42 a 47 encuentre una factorización LU para cada matriz no cuadrada. 42. ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎝ ⎜ 21 2 4⎠ ⎟ 43. ⎜ 21 4 ⎟ ⎝ ⎜ 6 0⎠ ⎟ 44. ⎛ 7 1 3 4⎞ ⎝ ⎜ 22 5 6 8⎠ ⎟ 45. ⎛ 4 21 2 1⎞ ⎜ 2 1 6 5 ⎟ ⎝ ⎜ 3 2 21 7⎠ ⎟ 46. ⎛ 5 1 3⎞ ⎜ 22 4 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 6 1⎟ ⎜ ⎟ 22 2 0 ⎝ ⎜ 5 23 1⎟ ⎠ 47. ⎛ 21 2 1⎞ ⎜ 1 6 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜22 3 7⎟ ⎜ ⎟ 1 0 2 ⎝ ⎜ 4 1 5⎠ ⎟
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Apéndice 3 EL ERROR NUMÉRICO EN L
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Apéndice 5 USO DE MATLAB MATLAB es
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Respuestas A LOS PROBLEMAS IMPARES
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660 CAPÍTULO 1 27. Forma escalonad
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662 CAPÍTULO 1 De la forma escalon
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664 CAPÍTULO 1 ⎛ 1 0 2166 . 0⎞
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666 CAPÍTULO 1 Problemas 1.6, pág
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668 CAPÍTULO 1 N 105. ∑ ( a 2b )
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670 CAPÍTULO 1 31. Sustituyendo la
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672 CAPÍTULO 1 47. 49. 51. 53. 1
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724 CAPÍTULO 4 ⎧⎛ 1 ⎪⎜ ⎨
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726 CAPÍTULO 5 ⎛ 41. a) A θ 5
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728 CAPÍTULO 5 ⎛ 11 33 ⎞ 7 7 1
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730 CAPÍTULO 5 ⎛ 1 1 ⎞ 59. ⎜
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734 CAPÍTULO 6 33. ⎛ 0 5⎞ 5
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736 CAPÍTULO 6 los valores caracte
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738 CAPÍTULO 6 3. n p j,n p a,n T
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740 CAPÍTULO 6 C 21 ⎛ 4 4 0 0
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742 CAPÍTULO 6 13. 1 5 det I 5 det
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744 CAPÍTULO 6 una hipérbola con
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746 CAPÍTULO 6 ⎛ 3. Para el prob
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748 CAPÍTULO 6 MATLAB 6.6 1. a) De
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750 CAPÍTULO 6 ⎝ ⎠ 7. a) 3 2 p
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752 APÉNDICES 2 2 y′ x′ 23. 10
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754 APÉNDICES 2 ( k 11)[( k 11) 15
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756 APÉNDICES n 21 1 3n n( 2n 1) 6
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758 Índice Ecuaciones diferenciale
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760 Índice Negativa definida, 585
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762 Índice representación de un,
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lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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