lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

3.3 Vectores en el espacio 251
Ahora se dará la definición de la proyección de un vector sobre otro. Primero se establece el
teorema análogo al teorema 3.2.5 (y cuya demostración es idéntica).
TEOREMA 4 Sea v un vector diferente de cero, entonces para cualquier otro vector u,
es ortogonal a v.
u v
wu v
2
v
DEFINICIÓN 3
es ortogonal a v.
Proyección
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v, denotada
por proy v
u está definida por
u v
proy v
u v
2
v
(9)
La componente de u en la dirección de v está dada por u ⋅ v . (10)
v
EJEMPLO 7 Cálculo de una proyección en
3
Sean u 5 2i 1 3j 1 k y v 5 i 1 2j 2 6k. Encuentre proy v
u.
2
2 4 12
Solución En este caso ( u ⋅ v) v 5 241yproy u = i + j − k. La componente de u en la dirección
v es ( u ⋅ v) v 5 2 41.
v
41 41 41
Observe que, igual que en el plano, proy v
u es un vector que tiene la misma dirección que v si
u ? v . 0 y la dirección opuesta a la de v si u ? v , 0.
Problemas 3.3
A UTOEVALUACIÓN
I. Responda si la afirmación siguiente es falsa o verdadera. La práctica común seguida
en este libro es desplegar los ejes xyz para
3
como un sistema derecho.
II. La distancia entre los puntos (1, 2, 3) y (3, 5, 21) es ______.
a) ( 123) ( 351)
b) 2 3 2
2 2 2
c) 2 3 4
2 2 2
d) 4 7 2
2 2 2
2 2