lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 415
Figura 4.10
La recta que mejor se
ajusta a los cuatro puntos
es y 5 3.57 2 0.88x.
APROXIMACIÓN CUADRÁTICA
Ahora se desea ajustar una curva cuadrática a los n datos. Recuerde que una curva cuadrática
en x es cualquier expresión de la forma
y 5 a 1 bx 1 cx 2 (9)
La ecuación (9) es la ecuación de una parábola en el plano. Si los n datos estuvieran sobre la
parábola, se tendría
Para
2
y a bx cx
1 1 1
2
y a bx cx
2 2 2
o o o o (10)
2
y a bx cx
n n n
2
y
1
1 x x
1 1
y
2
y 2
x x
, A
1
2 2
o o o o
y x x
n
2
1
n n
El sistema (10) se puede volver a escribir como
y 5 Au
y u =
a
b
c
(11)
al igual que antes. Si los datos no se encuentran todos sobre la misma parábola, entonces y 2
Au ≠ 0 para cualquier vector u, y de nuevo el problema es
Encontrar un vector u en
3
tal que | y 2 Au | sea mínima.
Utilizando un razonamiento similar al anterior, se puede demostrar que si cuando menos tres
de las x i
son diferentes, entonces A t A es invertible y el vector que minimiza al vector u está
dado por
u 5 (A t A) 21 A t y (12)