lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

722 CAPÍTULO 4
11.
de manera que
t
tr( AB ) 5
n
n
∑ ∑
i51
j51
a b
i) (A, A) 5 tr(AA t )
n n
2
5 ∑ ⎛ ⎞
∑ a ij
$ 0
⎝ ⎜ ⎟
⎠
i51
j51
ii) (A, A) 5 0 implica que a 2 ij 5 0 para
todo i y j con lo que A 5 0. Inversamente,
si A 5 0, entonces A t 5 0 y
AA t 5 0 por lo que tr(AA t ) 5 0.
iii) (A, B 1 C) 5 tr[A(B 1 C) t ] 1 tr[A(B t
1 C t )] 5 tr(AB t 1 AC t ) 5 tr(AB t ) 1
tr(AC t ) 5 (A, B) 1 (A, C).
iv) De manera similar, (A 1 B, C) 5
(A, C) 1 (B, C).
n
n
v) (A, B) 5 ∑ ∑ ab ij ij
5 tr(BA t ) 1 (B, A).
i51
j51
vi) (αA, B) 5 tr(αAB t ) 5 α tr(AB t ) 5
α(A, B).
vii) (A, αB) 5 (αB, A) 5 α(B, A) 5 α(A, B).
⎛ 1
⎝
⎜
0
0⎞
⎛ 0 1⎞
⎛ 0 0⎞
0⎠
⎟ ,
⎝
⎜
0 0⎠
⎟ ,
⎝
⎜
1 0⎠
⎟ ,
ij
ij
⎛ 0
⎝
⎜
0
0⎞
1⎠
⎟
13. a) i) (p, p) 5 p(a) 2 1 p(b) 2 1 p(c) 2 $ 0.
ii) (p, p) 5 0 implica que p(a) 5 p(b)
5 p(c) 5 0. Pero una cuadrática
puede tener a lo más dos raíces.
Entonces p(x) 5 0 para toda x. Inversamente,
si p ; 0, entonces p(a)
5 p(b) 5 p(c) 5 0, de manera que
(p, p) 5 0.
iii) (p, q 1 r) 5 p(a)(q(a) 1 r(a))
1 p(b)(q(b) 1 r(b))
1 p(c)(q(c) 1 r(c))
5 [p(a)q(a) 1 p(b)q(b)
1 p(c)(q(c)]
1 [p(a)r(a) 1 p(b)r(b)
1 p(c)r(c)]
5 (p, q) 1 (p, r).
iv) De manera similar, (p 1 q, r) 5
(p, r) 1 (q, r).
v) (p, q) 5 p(a)q(a) 1 p(b)q(b)
1 p(c)(q(c)
5 q(a)p(a) 1 q(b)p(b)
1 q(c)p(c)
5 (q, p).
vi) (αp, q) 5 [αp(a)]q(a)
1 [αp(b)]q(b)
1 [αp(c)]q(c)
5 α[p(a)q(a)
1 p(b)q(b)
1 p(c)q(c)]
5 α(p, q).
vii) (p, αq) 5 (αp, q) 5 α (q, p) 5
α(p, q)
b) No, ya que ii) se viola. Por ejem plo, sea
a 5 1, b 5 21 y p(x) 5 (x 2 1)(x 1 1)
5 x 2 2 1 ≠ 0. Entonces p(a) 5 p(b) 5
0 de mane ra que (p, p) 5 0 aun cuando
p [ 0. De hecho, para cualquier polinomio
q, se tiene que (p, q) 5 0.
15. 31
⎛ ⎛ u v ⎞ ⎛ u v ⎞ ⎞
17. 0 # ⎜ 2 2
⎝
⎜ |u| |v| ⎠
⎟ ,
⎝
⎝
⎜ |u| |v| ⎠
⎟ ⎟
⎠
( u,u) ( uu , ) ( vu , )
5 2 2
2
|u| |u||v| |u||v|
( vv , )
1
2
|v|
|
5 u| 2
⎡( uv , ) 1( uv , ) ⎤
2
2 ⎢
⎥
|u| ⎣ |u||v| ⎦
2
|v|
1
2
|v|
Ahora si z 5 a 1 bi, entonces z 1 – z 5 (a 1
bi) 1 (a 2 bi) 5 2a 5 2 Re z(y z 2 – z 5 2bi
5 2ilmz). Así, (u, v) 1 (u, v) 5 2 Re (u, v), y
se tiene 2 2 2Re( uv , ) o sea, Re( uv
$ , ) # 1.
|u||v| |u||v|
Sea λ un número real. Entonces 0 # ((λu 1
(u, v)v), (λu 1 (u, v)v)) 5 λ 2 |u| 2 1 |(u, v)| 2 |v| 2
1 λ(u, v)(u, v) 1 λ(u, v)(v, u) 5 (ya que λ
es real) λ 2 |u| 2 1 2λ|(u, v)| 2 1 |(u, v)| 2 |v| 2 . La
última línea es una ecuación cuadrática en
λ. Si se tiene aλ 2 1 bλ 1 c $ 0, entonces
la ecuación aλ 2 1 bλ 1 c 5 0 puede tener
a lo más una raíz real y, por lo tanto, b 2 2
4ac # 0. Así, 4(|(u, v)| 2 ) 2 2 4|u| 2 |(u, v)| 2 |v| 2 #
0 o |(u, v)| 2 # |u| 2 |v| 2 y |(u, v)| # |u| |v|.
19. H ' 5 gen {(215x 2 1 16x 2 3),
(20x 3 2 30x 2 1 12x 2 1)}