lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

318 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
La teoría de sistemas homogéneos nos habla acerca de la dependencia o independencia lineal
de los vectores.
TEOREMA 2 Un conjunto de n vectores en
m
es siempre linealmente dependiente si n . m.
Sean v 1
, v 2
, . . . , v n
, n vectores en
m
e intentemos encontrar constantes c 1
, c 2
, . . . , c n
no
todos cero tales que
Sea v
1
c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
5 0 (7)
a a a
11
12
1n
a
a
a
21
22
, v
2n
, ,v
2
n
. Entonces la ecuación (7) se convierte en
o o o
a a a
m1
m2
mn
(8)
Pero el sistema (8) es el sistema (1.4.1) de la página 38 y, según el teorema 1.4.1, tiene un
número infinito de soluciones si n . m. De esta forma, existen escalares c 1
, c 2
, . . . , c n
no
todos cero, que satisfacen (8) y, por lo tanto, los vectores v 1
, v 2
, . . . , v n
son linealmente
dependientes.
EJEMPLO 5
Cuatro vectores en R 3 que son linealmente dependientes
⎛ 2⎞
⎛ 4⎞
⎛ 18⎞
⎛ 2⎞
Los vectores
⎜
−3
⎟
,
⎜
7
⎟
,
⎜
−11
⎟
y
⎜
−7
⎟
son linealmente dependientes ya que constituyen un
⎝
⎜ 4⎠
⎟
⎝
⎜ −6⎠
⎟
⎝
⎜ 4⎠
⎟
⎝
⎜ 3⎠
⎟
conjunto de cuatro vectores de 3 elementos.
Existe un corolario importante (y obvio) del teorema 2.
COROLARIO
Un conjunto de vectores linealmente independientes en
n
contiene a lo más n vectores.
Nota. El corolario se puede expresar de otra forma. Si se tienen n vectores de dimensión n linealmente
independientes, no se pueden incluir más vectores sin convertir el conjunto en uno
linealmente dependiente.
Del sistema (8) se puede hacer otra observación importante cuya prueba se deja como
ejercicio (refiérase al problema 32 de la presente sección).
TEOREMA 3
a a p a
11 12 1n
a a p a
n
Sea A 21 22 2
o o o
a a p a
m1 m2
mn