lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

584 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
De los problemas 1 al 17 escriba la ecuación cuadrática en la forma Av ? v 5 d (donde A es una
matriz simétrica) y elimine el término xy rotando los ejes un ángulo θ. Escriba la ecuación en
términos de las nuevas variables e identifique la sección cónica obtenida.
2
2 2
2 2
1. 3x 22xy2550
2. 4x 14xy1 y 59
3. 3x 12xy13y
55
2 2
4. 4x 14xy2y
59
5. xy 51
6. 3xy 51
7. xy 5 a; a . 0
8.
2
2
4x
1 1 1 5
2xy 3y 2 0 9. xy 5 a; a , 0
2 2
10. x 14xy14y 2650
11. 2x 2 12xy2 y
2 50 12. 2x 2 1xy1 y
2 54
13. x 2 2 xy1 y
2
2 2
2 2
2 3 55 14. 3x 26xy15y
536
15. x 23xy14y
51
16. x 2 1xy1 y
2 5 5
17.
2 2
6x 15xy26y
1750
18. ¿Cuáles son las formas posibles de la gráfica de ax 2 1 bxy 1 cy 2 5 0?
De los problemas 19 al 23 escriba la forma cuadrática en términos de las nuevas variables x9, y9
y z9 de manera que no estén presentes los términos de productos cruzados (xy, xz, yz).
19. x 2 2 2xy 1 y 2 2 2xz 2 2yz 1 z 2 20. 2x 2 1 4xy 2 y 2 1 4xz 1 4yz 1 z 2
21. x 2 1 xy 1 y 2 1 3xz 1 z 2 22. 3x 2 1 4xy 1 2y 2 1 4xz 1 4z 2
23. x 2 2 2xy 1 2y 2 2 2yz 1 z 2
De los problemas 24 al 26 encuentre una matriz simétrica A tal que la forma cuadrática se pueda
escribir en la forma Ax ? x.
2
2
2
24. x 12x x 1x 14x x 16x x 13x 17x x 22x
x 1 x
1
1 2 2
2 2
25. x 2x 1x x 2x x 1x
1
2
26. 3x 7x x
2
2
1 3 2 4 4
2
2
1 1 2 2
1 3 2 3 3
2
1 3 2 3 3
1 4 2
2
4 4
22x 1x x 2x x 13x 22x x 1x x 24x x 26x 2
13xx 25xx 1xx 2x
2
1 5 3 5 4 5 5
1 4 2 4 3 4 4
27. Suponga que para algún valor de d diferente de cero, la gráfica de ax 2 1 bxy 1 cy 2 5 d es
una hipérbola. Demuestre que la gráfica es una hipérbola para cualquier otro valor de d
diferente de cero.
28. Demuestre que si a Z c, el término xy en la ecuación cuadrática (1) se elimina rotando un
ángulo 0, si θ está dado por cot 2θ 5 (a 2 c)/b.
29. Demuestre que si a 5 c en el problema 28, entonces el término xy se elimina rotando un
ángulo π/4 o un ángulo 2π/4.
( ) ′( ′ ′) ′( ′)
2 2
2 2
*30. Suponga que una rotación convierte a ax 1bxy 1cy en a′ x′
1b x y 1c y .
Demuestre que:
a) a 1 c 5 a9 1 c9 b) b 2 2 4ac 5 b9 2 2 4a9c9
31. Se dice que una forma cuadrática F(x) 5 F(x 1
, x 2
, . . . , x n
) es positiva definida si F(x) $ 0
para toda x ∈
n
y F(x) 5 0 si y sólo si x 5 0. Demuestre que F es positiva definida si y sólo
si la matriz simétrica A asociada a F tiene valores característicos positivos.
32. Se dice que una forma cuadrática F(x) es positiva semidefinida si F(x) $ 0 para todo x ∈ n
.
Demuestre que F es positiva semidefinida si y sólo si los valores característicos de la matriz
simétrica asociada a F son todos no negativos.