lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.11 Factorizaciones LU de una matriz 147
Mientras tanto, debe tenerse en cuenta que los resultados que se obtienen en la calculadora
o computadora con frecuencia serán diferentes de los obtenidos a mano. En particular, si A se
puede reducir a una matriz triangular sin permutaciones, entonces cuando PA 5 LU, P 5 I. No
obstante, muchas veces se obtendrá una P diferente en la calculadora. Por ejemplo, si
⎛ 2 3 2 4⎞
⎜
4 10 24 0
⎟
A 5 ⎜
⎟
⎜ 23 22 25 22⎟
⎜
⎟
⎝22 4 4 27⎠
igual que en los ejemplos 1 y 5, entonces MATLAB da la factorización A 5 LU, donde
1 2 40
⎛ 2 2 1⎞
2 9 83
⎜
1 0 0 0
⎟
L 5 ⎜
⎟
3 11
⎜2
1 0⎟
4 18
⎜
1
⎟
⎝2
1 0 0⎠
2
y
⎛ 4 10 4 0⎞
⎜
0 9 2 27
⎟
U 5 ⎜
⎟
83 41
⎜ 0 0 2
⎟
9 18
⎜
294
⎟
⎝ 0 0 0
83 ⎠
Nota. Una permutación de renglones de L lleva a una matriz triangular inferior con unos en
la diagonal.
Problemas 1.11
A UTOEVALUACIÓN
De las aseveraciones siguientes, indique cuál es verdadera y cuál es falsa
I. Para toda matriz cuadrada A existen matrices invertibles L y U tales que A 5 LU,
donde L es triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior.
II. Para toda matriz invertible A, existen L y U como en el problema 1.
III. Para toda matriz invertible A existe una matriz de permutación P tal que PA 5 LU,
donde L y U son como en el problema 1.
IV. El producto de matrices de permutación es una matriz de permutación.
De los problemas 1 a 11 encuentre la matriz triangular inferior L con unos en la diagonal y una
matriz triangular superior U tal que A 5 LU.
1.
⎛1 2⎞
⎝
⎜
3 4⎠
⎟
2.
⎛ 1 2⎞
⎝
⎜
0 3⎠
⎟
3.
⎛ 21 5⎞
⎝
⎜
6 3⎠
⎟
4.
⎛ 1 4 6⎞
⎜
2 21 3
⎟
⎝
⎜ 3 2 5⎠
⎟
5.
⎛ 2 3 1⎞
⎜
21 2 23
⎟
⎝
⎜ 5 21 22⎠
⎟
6.
⎛ 2 1 7⎞
⎜
4 3 5
⎟
⎝
⎜ 2 1 6⎠
⎟
7.
⎛ 3 9 22⎞
⎜
6 23 8
⎟
⎝
⎜ 4 6 5⎠
⎟
8.
⎛ 1 1 23⎞
⎜
1 2 4
⎟
⎝
⎜23 4 3⎠
⎟
9.
⎛ 1 2 21 4⎞
⎜
0 21 5 8
⎟
⎜
⎟
⎜ 2 3 1 4⎟
⎜
⎟
⎝ 1 21 6 4⎠