lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz 345
Se ha introducido una gran cantidad de notación en tan sólo tres páginas.
Antes de dar un ejemplo, se demostrará que dos de estos cuatro espacios son los mismos.
TEOREMA 3
DEMOSTRACIÓN
Para cualquier matriz A, C A
5 Im(A). Es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio
de sus columnas.
Para demostrar que C A
5 Im(A), se demuestra que Im(A) 8 C A
e Im(A) 8 C A
.
iii. Se quiere probar que Im(A) 8 C A
. Suponga que y P Im(A). Entonces existe un
vector x tal que y 5 Ax. Pero como se observó en la sección 1.6 de la página 58,
Ax se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de A. Por lo
tanto, y P C A
, de manera que Im(A) 8 C A
.
iii. Se quiere probar que Im(A) 8 C A
. Suponga que y P C A
. Entonces y se puede expresar
como una combinación lineal de las columnas de A como en la ecuación (1.6.9)
de la página 64. Sea x el vector columna de los coeficientes de esta combinación
lineal. Entonces, igual que en la ecuación (1.6.9), y 5 Ax. Así, y P Im(A), lo que
prueba que Im(A) 8 C A
.
EJEMPLO 3 Cálculo de N A
, ν(A), imagen A, r(A), R A
y C A
para una matriz de 2 3 3
1
Sea A
2 1 3
. A es una matriz de 2 3 3.
iii. El espacio nulo de A 5 N A
5 {x P 3
: Ax 5 0}. Como se vio en el ejemplo 1,
1
N A
5 gen
1
1
iii. La nulidad de A 5 ν(A) 5 dim N A
5 1.
iii. Se sabe que Im(A) 5 C A
. Las primeras dos columnas de A son vectores linealmente independientes
en
2
y, por lo tanto, forman una base para 2
. La Im(A) 5 C A
5 2
.
iv. ρ(A) 5 dim Im(A) 5 dim
2
5 2.
v. El espacio de los renglones de A 5 R A
5 gen {(1, 2, 21), (2, 21, 3)}. Como estos dos vectores
son linealmente independientes, se ve que R A
es un subespacio de dimensión dos de 3
.
Del ejemplo 4.6.9 de la página 336, se observa que R A
es un plano que pasa por el origen.
En el ejemplo 3 iv) se observa que ρ(A) 5 dim R A
5 2, lo que no es una coincidencia.
TEOREMA 4
Si A es una matriz de m 3 n, entonces
dim R A
5 dim C A
5 dim Im(A) 5 ρ(A)
DEMOSTRACIÓN
Como es usual, se denota por a ij
la componente ij de A. Debemos demostrar que dim R A
5 dim C A
. Los renglones de A se denotan por r 1
, r 2
, . . . , r m
, y sea k 5 dim R A
. Sea S 5
{s 1
, s 2
, . . . , s k
} una base para R A
. Entonces cada renglón de A se puede expresar como
una combinación lineal de los vectores en S, y se tiene, para algunas constantes a ij
,